Giải bài 44 trang 130 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 2

Đề bài

    Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và GEF là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, EF là dây song song với AB. Cho hình đó quay quanh trục GO. Chứng minh rằng:

a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Hướng dẫn giải

   Bán kính hình tròn ngoại tiếp hình vuông là R.

   Độ dài cạnh hình vuông nội tiếp là \(R\sqrt{2}\).

   Độ dài cạnh hình tam giác đều nội tiếp là \(\sqrt{3}\)

   Đường cao của tam giác đều là:

   \(EF. \dfrac{\sqrt{3}}{2}= R\sqrt{3}. \dfrac{\sqrt{3}}{2}= \dfrac{3R}{2}\)

  a) Thể tích hình trụ sinh ra bởi hình vuông là:

   \(V_1 = \pi.(\dfrac{R\sqrt{2}}{2})^2.R \sqrt{2} = \dfrac{\pi.\sqrt{2}.R^3}{2}\)

   Thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn là: \(V_2 = \dfrac{4}{3}\pi R^3.\)

   Thể tích hình nón sinh ra bởi tam giác đều là:

   \(V_3 = \dfrac{1}{3}\pi (\dfrac{R\sqrt{3}}{2})^2. \dfrac{3R}{2}= \dfrac{3}{8}\pi R^3\\ Ta \ có \ : V^2_1 = ( \dfrac{\pi \sqrt{2}.R^3}{2})^2= \dfrac{\pi^2R^6}{2} \\V_2 V_3 = \dfrac{4}{3}\pi^3 = \dfrac{\pi^2 R^6}{2}\)

  Vậy \(V_1^2 = V_2V_3\)  

   b) Diện tích toàn phần của hình trụ là:

   \(S_1 = 2\pi R\sqrt{2} . \dfrac{R\sqrt{2}}{2} + 2\pi .( \dfrac{R\sqrt{2}}{2} )^2 = 3\pi R^2\)

   Diện tích hình cầu là: \(S_2 = 4\pi R^2 = 4\pi R^2\)

  Diện tích toàn phần của hình nón là:

   \(S_ 3 = \pi \dfrac{R\sqrt{3}}{2} .R \sqrt{3}+ \pi ( \dfrac{R\sqrt{3}}{2})^2 =\dfrac{9}{4}\pi R^2\)

  Ta có

    \(S^2_1 = 9 \pi^2 R^4\\ S_2S_3= 4\pi R^2. \dfrac{9}{4}\pi R^2= 9\pi^2R^4\\ Vậy \\ S^2_1 = S_2.S_3\)