Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến PA, PB (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm I của AH.

Hướng dẫn giải

Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC và BP.

Ta có: \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (BC là đường kính)

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = 90^\circ \) (kề bù) hay \(\widehat {DAP} + \widehat {PAB} = 90^\circ \) (1)

∆ABD vuông tại A (cmt) \( \Rightarrow \widehat {ABD} + \widehat {ADB} = 90^\circ \) (2)

Mặt khác PA, PB là hai tiếp tuyến cuả (O)

nên \(PA = PB\) và \(\widehat {PAB} = \widehat {PBA}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {DAP} = \widehat {ADP}\)

Do đó ∆APD cân tại P

\(⇒ PA = PD\), mà \(PA = PB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(⇒ PD = PB.\)

Lại có DB // AH (⊥ BC)

Xét ∆PBC có : IH // PB \( \Rightarrow {{IH} \over {PB}} = {{IC} \over {PC}}\) (4) (Định lí Ta-lét)

Tương tự ∆PCD có : AI // PD \( \Rightarrow {{AI} \over {DP}} = {{IC} \over {PC}}\) (5)

Từ (4) và (5) \( \Rightarrow {{IH} \over {PB}} = {{AI} \over {DP}} \Rightarrow IH = IA\) (vì \(PB = PD\))

Bạn có biết?

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 9

Lớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!

Nguồn : ADMIN :))