Cho đường tròn (O; R) và một điểm A sao cho \(OA = 2R.\) Vẽ các tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng OA cắt BC tại H, cắt cung nhỏ và cung lớn BC lần lượt tại M và N.

a. Chứng minh rằng: \(OA ⊥ BC\) và \({R^2} = OA.HM\)

b. Vẽ cát tuyến bất kì ADE. Gọi K là trung điểm của DE. Chứng tỏ năm điểm A, B, O, K, C thuộc cùng một đường tròn.

Hướng dẫn giải

a. AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) ta có \(AB = AC\), lại có \(OB = OC (=R)\) nên OA là đường trung trực của đoạn BC \(⇒ OA ⊥ BC.\)

Ta có: \(OA = 2R (gt)\)

\(⇒ MA = OA - MO = 2R - R = R\)

Hay M là trung điểm của AO.

∆ABO có BM là trung tuyến nên:

\(BM = MO = {{AO} \over 2} = R\)

Vậy ∆BMO đều. Do đó đường cao BH cũng đồng thời là đường trung tuyến nên \(HM = HO = {R \over 2}\)

∆ABO vuông có BH là đường cao nên \(O{B^2} = OA.OH\) (hệ thức lượng)

hay \({R^2} = OA.HM\)

b. K là trung điểm của \(DE ⇒ OK ⊥ DE\) (định lí đường kính dây cung)

Do đó ∆AKO vuông tại K có OA là cạnh huyền, lại có các tam giác ABO, ACO vuông cũng có OA là cạnh huyền. Vì vậy năm điểm A, B, O, K, C thuộc cùng một đường tròn có đường kính OA.

Bạn có biết?

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 9

Lớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!

Nguồn : ADMIN :))