Giải Toán 10 trang 41 Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải Toán 10 Bài 20 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng - Góc và khoảng cách Kết nối tri thức với cuộc sống giúp các em học sinh lớp 10 tham khảo phương pháp bài tập SGK Toán 10 tập 2 trang 41 thuộc Chương 7 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 trang 41 được biên soạn rất chi tiết, hướng dẫn các em phương pháp giải rõ ràng để các em hiểu được bài vị trí tương đối giữa hai đường thẳng nhanh nhất. Đồng thời qua giải Toán lớp 10 trang 41 học sinh tự rèn luyện củng cố, bồi dưỡng và kiểm tra vốn kiến thức toán của bản thân mình để học tốt chương 7.

Toán 10: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Giải Toán 10 trang 41 Kết nối tri thức - Tập 2
Lý thuyết Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Giải Toán 10 trang 41 Kết nối tri thức - Tập 2

Bài 7.7 trang 41

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a. $\Delta _{1}:3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$ và $\Delta _{2}: 6x+2y-\sqrt{6}=0$

b. $d _{1}: x-\sqrt{3}y+2=0$ và $d _{2}: \sqrt{3}x-3y+2=0$

c. $m _{1}: x-2y+1=0$ và $m _{2}: 3x+y-2=0$

Gợi ý đáp án

$a. \Delta _{1}$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n_{1}}(3\sqrt{2};\sqrt{2})$

$\Delta _{2}$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n_{2}}(6; 2)$

Ta có $\overrightarrow{n_{1}} và \overrightarrow{n_{2}}$ cùng phương, nên $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ song song hoặc trùng nhau.

Ta có: $3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow 3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$

Vậy $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ trùng nhau.

b. Ta có: $x-\sqrt{3}y+2=0 \Leftrightarrow \sqrt{3}x-3y+2\sqrt{3}=0$

Mà $\sqrt{3}x-3y+2\sqrt{3} \neq \sqrt{3}x-3y+2$ nên $d _{1} và d _{2}$ song song.

c. $m _{1}$ có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n_{1}}(1;-2)$

$m _{2}$ có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n_{2}}(3;1)$

Ta có $\overrightarrow{n_{1}}$ và $\overrightarrow{n_{2}}$ không cùng phương, nên $d _{1}$ và $d _{2}$ cắt nhau.

Bài 7.8 trang 41

Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

$a. \Delta _{1}:\sqrt{3}x+y-4=0$ và $\Delta _{2}: x+\sqrt{3}y+3=0$

b. $d_{1}:\left\{\begin{matrix}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{matrix}\right. và d_{2}:\left\{\begin{matrix}x=3+s\\ y=1-3s\end{matrix}\right.$ (t, s là các tham số)

Gợi ý đáp án

$\Delta _{1}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}}(\sqrt{3}; 1)$

$\Delta _{2}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}}(1; \sqrt{3})$

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta _{1} và \Delta _{2}, ta có:$

$cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}})\right |=\frac{|\sqrt{3}.1+1.\sqrt{3}|}{\sqrt{1^{2}+3}.\sqrt{3+1^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Do đó góc giữa $\Delta _{1} và \Delta _{2} là \varphi =30^{o}.$

$d _{1}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}}(2; 4)$

$d _{2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}}(1; -3)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d _{1}$ và $d _{2}$ , ta có:

$cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}})\right |=\frac{|2.1-3.4|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}.\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Do đó góc giữa $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ là $\varphi \approx 26,6^{o}.$

Bài 7.9 trang 41

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-2; 0) và đường thẳng $\Delta : x + y - 4 = 0.$

a. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\Delta$

b. Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với $\Delta .$

c. Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với $\Delta .$

Gợi ý đáp án

a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\Delta$ là: $d_{(A;\Delta )}=\frac{|0-2+4|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}$

b. đường thẳng a song song với $\Delta$ nên đường thẳng a có dạng: x + y + c = 0.

Do a đi qua M nên: -1 + 0 + c = 0, suy ra c = 1.

Vậy phương trình đường thẳng a: x + y + 1 = 0.

c. Đường thẳng b vuông góc với $\Delta$ nên đường thẳng b có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của đường thẳng b: $\overrightarrow{u}(1; 1)$

Phương trình tham số của đường thẳng b là:

$\left\{\begin{matrix}x=t\\ y=3+t\end{matrix}\right.$

Bài 7.10 trang 41

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2; 1).

a. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b. Tính diện tích tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

Viết phương trình đường thẳng BC: có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{BC}(-5;-3)$ và đi qua B(3; 2).

$\Rightarrow$ Đường thẳng BC có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}(3; -5)$

Phương trình đường thẳng BC là: 3(x - 3) - 5(y - 2) = 0, Hay 3x - 5y +1 = 0

Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

Áp dụng công thức khoảng cách có: $d_{(A; BC)}=\frac{|3.1-5.0+1|}{\sqrt{3^{2}+5^{2}}}=\frac{2\sqrt{34}}{17}$

Độ dài đoạn BC là: $BC = \sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}$

Diện tích tam giác ABC là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}d_{(A;BC)}.BC=\frac{1}{2}.\frac{2\sqrt{34}}{17}.\sqrt{34}=2$

Bài 7.11 trang 41

Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a \neq 0) và d': y = a'x + b' ( $a' \neq 0$ ) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.

Gợi ý đáp án

Giả sử đường thẳng d và d' vuông góc với nhau, ta chứng minh aa' = -1. Thật vậy,

Đường thẳng d có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n}(a; -1)$

Đường thẳng d' có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n'}(a'; -1)$

Do đường thẳng d và d' vuông góc với nhau nên $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}=0$

$\Rightarrow a$ .a' + (-1).(-1) = 0, hay a.a' = -1.

Giả sử a.a' = -1, ta chứng minh đường thẳng d và d' vuông góc với nhau. Thật vậy,

Xét tích vô hướng: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}= a.a' + (-1).(-1) = -1 + 1 = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{n'}$

Vậy đường thẳng d và d' vuông góc với nhau.

Bài 7.12 trang 41

Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Gợi ý đáp án

Gọi điểm phát tín hiệu là I(x; y).

Do vị trí I đều được ba thiết bị ghi tín hiệu tại O, A, B nhận được cùng một thời điểm nên: IO = IA = IB.

Ta có: $IO=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}},$

$IA= \sqrt{(x-1)^{2}+(y-0)^{2}},$

$IB= \sqrt{(x-1)^{2}+(y-3)^{2}}$

Vì IO = IA = IB, nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=(x-1)^{2}+(y-0)^{2}\\ (x-1)^{2}+(y-0)^{2}=(x-1)^{2}+(y-3)^{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-2x+1=0\\ -6y +9 =0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$

Vậy điểm cần tìm là $I(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$

Lý thuyết Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Nhận xét: Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điểm có toa độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó. Vi vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng. Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng

${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0 và {\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0.$

Khi đó, toạ độ giao điểm của ${\Delta _1} và {\Delta _2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} {a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\ {a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0 \end{array} \right.(*)$

${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ ⇔ hệ (*) có nghiệm duy nhất $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ .

${\Delta _1}$ song song với ${\Delta _2}$ ⇔ hệ (*) vô nghiệm.

${\Delta _1}$ trùng ${\Delta _2}$ ⇔ hệ (*) có vô số nghiệm.

Chú ý

Dựa vào các vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ hoặc các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ của $\overrightarrow {{\Delta _1}} ,\overrightarrow {{\Delta _2}}$ ta có:

+ ${{\Delta _1}}$ và ${{\Delta _2}}$ song song hoặc trùng nhau ⇔ $\overrightarrow {{u_1}} và \overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương ⇔ $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ cùng phương.

+ ${{\Delta _1}}$ và ${{\Delta _2}}$ cắt nhau ⇔ $\overrightarrow {{u_1}} và \overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương ⇔ $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ không cùng phương.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $\Delta :x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 = 0$ và mỗi đường thẳng sau:

$\begin{array}{l} {\Delta _1}:\sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0;\\ {\Delta _2}:\sqrt 2 x - 2y = 0. \end{array}$

Giải

Vì $\begin{array}{l} x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {x - \sqrt 2 y + 4\sqrt 3 } \right) = 0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \sqrt 3 x - \sqrt 6 y + 12 = 0. \end{array}$

Vậy ${{\Delta}}$ và ${{\Delta _1}}$ là một, tức là chúng trùng nhau.

Hai đường thẳng ${{\Delta}}$ và ${{\Delta _2}}$ có hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n \left( {1; - \sqrt 2 } \right)$ và $\overrightarrow {{n_2}} \left( {\sqrt 2 ; - 2} \right)$ cùng phương.

Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng ${{\Delta _2}}$ nhưng không thuộc đường thẳng ${{\Delta}}$ nên hai đường thẳng này không trùng nhau.

Vậy ${{\Delta}}$ và ${{\Delta _2}}$ song song với nhau.

Nhận xét: Giả sử hai đường thẳng ${\Delta _1}$ , ${{\Delta _2}}$ có hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ (hay hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ ) cùng phương. Khi đó:

+ Nếu ${\Delta _1}$ Và ${{\Delta _2}}$ có điểm chung thì ${\Delta _1}$ trùng ${{\Delta _2}}$ .

+ Nếu tồn tại điểm thuộc ${\Delta _1}$ nhưng không thuộc ${{\Delta _2}}$ thì ${\Delta _1}$ song song với ${{\Delta _2}}$ .