Toán 10 Bài 4: Phương sai và độ lệch chuẩn

Là trung bình cộng của các bình phương độ lệch của mỗi số liệu thống kê.

Công thức tính phương sai:

* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất

\(\begin{array}{l}
{s^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]\\
 = {f_1}{\left( {{x_1} - \overline x } \right)^2} + {f_2}{\left( {{x_2} - \overline x } \right)^2} + ... + {f_k}{\left( {{x_k} - \overline x } \right)^2}
\end{array}\)

trong đó n_i, f_i lần lượt là tần số, tần suất cua giá trị x_i; n là số các số liệu thống kê (n=n₁+n₂+...+n_k); \({\overline x }\) là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.

* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

\(\begin{array}{l}
{s^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{c_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]\\
 = {f_1}{\left( {{c_1} - \overline x } \right)^2} + {f_2}{\left( {{c_2} - \overline x } \right)^2} + ... + {f_k}{\left( {{c_k} - \overline x } \right)^2}
\end{array}\)

trong đó c_i, n_i, f_i lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i; n là số các số liệu thống kê (n=n1+n2+...+nk); \({\overline x }\) là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.

Phương pháp tính phương sai: 

 + Tính trung bình cộng 

 + Tính độ lệch của mỗi số liệu thống kê

 + Áp dụng công thức

Ngoài ra có thể dùng công thức:

\({s^2} = \overline {{x^2}}  - {\left( {\overline x } \right)^2}\)

trong đó \(\overline {{x^2}} \) là trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê và

\(\overline {{x^2}}  = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}{x^2}_i}  = \sum\limits_1^k {{f_i}{x^2}_i} \) (đối với bảng phân bố tần số, tần suất)

\(\overline {{x^2}}  = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}{c_i}^2}  = \sum\limits_1^k {{f_i}{c_i}^2} \) (đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp)

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn. Ký hiệu là s và \(s = \sqrt {{s^2}} \)

Ý nghĩa: Phương sai s² và độ lệch chuẩn s đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng s vì s có đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.

Ví dụ 1:  Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau:

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số, tần suất trên

Hướng dẫn:

Điểm trung bình của học sinh là

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\bar x = {f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + {f_3}{x_3} + {f_4}{x_4} + {f_5}{x_5} + {f_6}{x_6}}\\
{ = \frac{{9,09}}{{100}}.7,5 + \frac{{18,18}}{{100}}.7,8 + \frac{{27,27}}{{100}}.8,0 + \frac{{18,18}}{{100}}.8,4 + \frac{{18,18}}{{100}}.9,0 + \frac{{9,09}}{{100}}.9,5}\\
{ \approx 8,3}
\end{array}\)

Phương sai s²

 \(\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{l}}
{{s^2} = {f_1}{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {f_2}{{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + ... + {f_k}{{\left( {{x_k} - \bar x} \right)}^2}}
\end{array}\\
 = \frac{{9,09}}{{100}}{\left( {7,5 - 8,3} \right)^2} + \frac{{18,18}}{{100}}{\left( {7,8 - 8,3} \right)^2} + \frac{{27,27}}{{100}}{\left( {8,0 - 8,3} \right)^2}\\
 + \frac{{18,18}}{{100}}{\left( {8,4 - 8,3} \right)^2} + \frac{{18,18}}{{100}}{\left( {9,0 - 8,3} \right)^2} + \frac{{9,09}}{{100}}{\left( {9,5 - 8,3} \right)^2}\\
 \approx 0,35
\end{array}\)

Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{s^2}}  \approx 0,59\)

Ví dụ 2: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau

Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng trên.

Hướng dẫn:

Số trung bình cộng:

\(\begin{array}{l}
\bar x = {f_1}{c_1} + {f_2}{c_2} + ... + {f_k}{c_k}\\
 = \frac{{3,33}}{{100}}.13 + \frac{{10}}{{100}}.15 + \frac{{40}}{{100}}.17 + \frac{{30}}{{100}}.19 + \frac{{16,67}}{{100}}.21\\
 \approx 17,93
\end{array}\)

Phương sai s²

\(\begin{array}{l}
{s^2} = {f_1}{\left( {{c_1} - \overline x } \right)^2} + {f_2}{\left( {{c_2} - \overline x } \right)^2} + {f_3}{\left( {{c_3} - \overline x } \right)^2} + {f_4}{\left( {{c_4} - \overline x } \right)^2} + {f_5}{\left( {{c_5} - \overline x } \right)^2}\\
 = \frac{{3,33}}{{100}}{\left( {13 - 17,93} \right)^2} + \frac{{10}}{{100}}{\left( {15 - 17,93} \right)^2} + \frac{{40}}{{100}}.{\left( {17 - 17,93} \right)^2} + \frac{{30}}{{100}}{\left( {19 - 17,93} \right)^2} + \frac{{16,67}}{{100}}{\left( {21 - 17,93} \right)^2}\\
 \approx 8,64
\end{array}\)

Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{s^2}}  \approx 2,94\)

Trong phạm vi bài học HOCTAP247 chỉ giới thiệu đến các em những các cách tính Phương sai và độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số, tần suất (hoặc bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp), qua đó đánh giá được mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng).

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Nếu đơn vị của số liệu là kg thì đơn vị của phương sai là?

  • A. kg
  • B. kg²
  • C. Không có đơn vị 
  • D. kg/2

• Câu 2:

  Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 10, ta có kết quả sau:

  

  Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là

  • A. 156,5
  • B. 157
  • C. 157,5
  • D. 158

• Câu 3:

  Cho bảng phân bố tần số ghép lớp: 

  

  Mệnh đề đúng là:

  • A. Giá trị trung tâm của lớp [50; 52) là 53
  • B. Tần số của lớp [58; 60) là 95 
  • C. Tần số của lớp [52; 54 ) là 35
  • D. Số 50 không phụ thuộc lớp [54; 56 )

Câu 7- Câu 18: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 2 trang 128 SGK Đại số 10

Bài tập 3 trang 128 SGK Đại số 10

Bài tập 5.15 trang 162 SBT Toán 10

Bài tập 5.16 trang 162 SBT Toán 10

Bài tập 5.17 trang 162 SBT Toán 10

Bài tập 9 trang 177 SGK Toán 10 NC

Bài tập 10 trang 177 SGK Toán 10 NC

Bài tập 11 trang 178 SGK Toán 10 NC

Bài tập 12 trang 178 SGK Toán 10 NC

Bài tập 13 trang 178 SGK Toán 10 NC

Bài tập 14 trang 179 SGK Toán 10 NC

Bài tập 15 trang 179 SGK Toán 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.