Toán 10 Bài 3: Số trung bình cộng, số trung vị, mốt

* Trường hợp bảng phân bố tần số 

Số trung bình cộng là:

\(\bar x = \frac{1}{n}({n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}) = {f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + ... + {f_k}{x_k}\)

trong đó: n_i, f_i lần lượt là tần số, tần suất của giá trị x_i, n = n₁ + n₂ + … + n_k.

* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

Số trung bình cộng là:

\(\bar x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}) = {f_1}{c_1} + {f_2}{c_2} + ... + {f_k}{c_k}\)

với c_i, n_i, f_i lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê (n = n₁ + n₂ + … + n_k).

Khái niệm: Khi các số liệu thống kê có sự chênh lệch lớn thì số trung bình cộng không đại diện được cho các số liệu đó. Khi đó ta chọn số đặc trưng khác đại diện thích hợp hơn, đó là số trung vị 

Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm ( hoặc không tăng). Số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu Me là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử là chẵn.

* Lưu ý cách tìm số trung vị:

+ Phải sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm ( hoặc không tăng).

+ Nếu n lẻ  thì M_{e l}à số đứng chính giữa dãy ( số hạng thứ \(\frac{{n + 1}}{2}\)).

+ Nếu n chẵn thì M_e là  trung bình cộng  của 2 số đứng giữa dãy (số hạng thứ \(\frac{n}{2}\) và số hạng thứ \(\frac{n}{2} + 1\)).

Định nghĩa: Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là M_o.

Nhận xét: Một mẫu số liệu có thể có một hay nhiều mốt.

Ví dụ 1:  Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau:

Hãy tính điểm trung bình của học sinh? (không được áp dụng công

thức \(\bar x = \frac{1}{n}({n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k})\)

Hướng dẫn:

Điểm trung bình của học sinh là:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\bar x = {f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + {f_3}{x_3} + {f_4}{x_4} + {f_5}{x_5} + {f_6}{x_6}}\\
{ = \frac{{9,09}}{{100}}.7,5 + \frac{{18,18}}{{100}}.7,8 + \frac{{27,27}}{{100}}.8,0 + \frac{{18,18}}{{100}}.8,4 + \frac{{18,18}}{{100}}.9,0 + \frac{{9,09}}{{100}}.9,5}\\
{ \approx 8,3}
\end{array}\)

Ví dụ 2: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau

Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)

Tính số trung bình cộng của bảng trên

Hướng dẫn:

Tính các giá trị đại diện ci với ci là trung bình cộng của hai mút của lớp i:

c1=13; c2=15; c3=17; c4=19; c₅=21

Số trung bình cộng là:

Cách 1: Sử dụng bảng phân bố tần số ghép lớp 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\bar x = \frac{1}{n}({n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k})}\\
{ = \frac{1}{{30}}\left( {1.13 + 3.15 + 12.17 + 9.19 + 5.21} \right)}\\
{ \approx 17,93}
\end{array}\)

Cách 2: Sử dụng bảng phân bố tần suất ghép lớp 

\(\begin{array}{l}
\overline x  = {f_1}{c_1} + {f_2}{c_2} + {f_3}{c_3} + {f_4}{c_4}\\
 = \frac{{3,33}}{{100}}.13 + \frac{{10,00}}{{100}}.15 + \frac{{40,00}}{{100}}.17 + \frac{{30,00}}{{100}}.19 + \frac{{16,67}}{{100}}.21\\
 \approx 17,94
\end{array}\)

Ví dụ 3: 

a) Một nhóm 7 học sinh tham gia một kì thi có số điểm như sau (thang điểm 100): 0, 0, 65, 69, 80, 89, 90. Tìm số trung vị?

b) Điểm thi học kì I môn toán của 6 HS là: 5, 3, 9, 7, 2,  9. Tìm số trung vị?

Hướng dẫn:

a) Vì n = 7 lẻ nên ta có M_e = 69

b) Vì n = 6 chẵn nên ta có \({M_e} = \frac{{9 + 7}}{2} = 8\)

Ví dụ 4: Tìm mốt trong ví dụ 1

Hướng dẫn:

Trong bảng ở ví dụ 1 thì giá trị có tần số lớn nhất là 8,0, do đó ta có

M_O=8,0

Trong phạm vi bài học HOCTAP247 giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Số trung bình, số trung vị, mốt kèm các bài tập giải có lời giải chi tiết giúp các em luyện tập tốt hơn

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Ba nhóm học sinh gồm 20 người,15 người,25 người.Khối lượng trung bình của mỗi nhóm lần lượt là 50kg,38kg,40kg.Khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh là

  • A. 41,6 kg
  • B. 42,8 kg
  • C. 41,8 kg
  • D. Đáp số khác

• Câu 2:

  Cho dãy số liệu thống kê: 48,36,33,38,32,48,42,33,39. Khi đó số trung vị là

  • A. 32
  • B. 36
  • C. 38
  • D. 40

• Câu 3:

  Cho mẫu số liệu thống kê \(\left\{ {6,5,5,2,9,10,8} \right\}\) .Mốt của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu?

  • A. 5
  • B. 10
  • C. 2
  • D. 6

Câu 7- Câu 18: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 122 SGK Đại số 10

Bài tập 2 trang 122 SGK Đại số 10

Bài tập 3 trang 123 SGK Đại số 10

Bài tập 4 trang 123 SGK Đại số 10

Bài tập 5 trang 123 SGK Đại số 10

Bài tập 5.10 trang 157 SBT Toán 10

Bài tập 5.11 trang 158 SBT Toán 10

Bài tập 5.12 trang 158 SBT Toán 10

Bài tập 5.13 trang 158 SBT Toán 10

Bài tập 5.14 trang 159 SBT Toán 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.