Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $OD\perp AC\to OD$ là trung trực $AC\to DA=DC\to\Delta DAC$ cân tại $D$

               $BC=OC=OB(=R)\to \Delta OCB$ đều $\to \widehat{CBO}=60^o\to\widehat{CBA}=60^o$ 

               $AD$ là tiếp tuyến của $(O)\to \widehat{DAC}=\widehat{ABC}=60^o$

$\to\Delta DAC$ đều

b.Vì $OD$ là trung trực $AC\to A, C$ đối xứng qua $OD$

$\to \widehat{DCO}=\widehat{DAO}=90^o\to OC\perp CD$

$\to CD$ là tiếp tuyến của $(O)$

c.Ta có: $EC, EB$ là tiếp tuyến của $(O)\to EC=EB, OE$ là phân giác $\widehat{COB}$

                $DA, DC$ là tiếp tuyến của $(O)\to DA=DC, OD$ là phân giác $\widehat{AOC}$

                $\widehat{COA}+\widehat{COB}=180^o$

$\to OD\perp OE$

$\to AD\cdot BE=CD\cdot CE=OC^2=R^2$ không đổi

d.Gọi $CF\cap AB=H$

Vì $AD//BE$

$\to \dfrac{FE}{FA}=\dfrac{BE}{AD}=\dfrac{CE}{CD}$

$\to CF//AD$

mà $AD\perp AB\to CF\perp AB\to CH\perp AB$

$\to \dfrac{CF}{AD}=\dfrac{EF}{EA}=\dfrac{BF}{DB}=\dfrac{HF}{AD}$

$\to FC=FH$

$\to F$ là trung điểm $HC$

$\to FC=\dfrac12CH$

Ta có: $CH\perp AB\to CH\le CO$

$\to 2FC\le CO$

$\to 4CF^2\le CO^2=AD\cdot BE$

$\to FC^2\le\dfrac{AD\cdot BE}4$