Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A,HA\perp BC$

$\to AH^2=HB\cdot HC=144$

$\to AH=12$

$\to AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=15$

b.Vì $BH$ là đường kính của $(O)\to \widehat{BDH}=90^o$

c.Từ câu b $\to HD\perp AB$

Mà $\Delta AHB$ vuông tại $H$

$\to AD\cdot AB=AH^2$

Tương tự chứng minh được $HE\perp AC, AH^2=AE\cdot AC$

$\to AD\cdot AB=AE\cdot AC$

d.Ta có: $HD\perp AB, HE\perp AC, AB\perp AC\to ADHE$ là hình chữ nhật 

Gọi $AH\cap DE=I$

$\to IA=IH=ID=IE$

Vì $ID=IH, OD=OH\to I, O\in$ trung trực $HD$

$\to OI$ là trung trực $HD$

$\to D, H$ đối xứng qua $OI$

$\to\widehat{ODI}=\widehat{OHI}=90^o$

$\to OD\perp DE$

$\to DE$ là tiếp tuyến của $(O)$

Tương tự $DE\perp O'E$

$\to DE$ là tiếp tuyến của $(O')$

$\to DE$ là tiếp tuyến chung của $(O), (O')$