∆ABC vuông cân tại A và nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC. Khi đó tỉ số R/r bằng: A. 1 + căn bậc hai của 2; B. 2 + căn bậc hai của 2...

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giả sử AB = AC = a.

∆ABC vuông cân tại A nên BC² = AB² + AC² (Định lí Pythagore)

Do đó BC² = a² + a² = 2a².

Suy ra \(BC = a\sqrt 2 \).

Diện tích ∆ABC là: \(S = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{{{a^2}}}{2}\) (đơn vị diện tích)

Ta có \(S = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}}\)

\( \Leftrightarrow R = \frac{{AB.AC.BC}}{{4S}} = \frac{{a.a.a\sqrt 2 }}{{4.\frac{{{a^2}}}{2}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Nửa chu vi của ∆ABC là:

\(p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{a + a + a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{2}\).

Ta có S = p.r

\( \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}}}{2}:\frac{{a\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}.\frac{2}{{a\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}\).

Vì vậy tỉ số \(\frac{R}{r} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{2 + \sqrt 2 }}{a} = 1 + \sqrt 2 \).

Vậy ta chọn phương án A.