Cho đường tròn (O) có AB là dây cung không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB.

Câu hỏi :

Cho đường tròn (O) có AB là dây cung không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A. Vẽ hai tiếp tuyến MCMD đến (O) (tiếp điểm C thuộc cung nhỏ AB, tiếp điểm D thuộc cung lớn AB).a) Chứng minh tứ giác OIMD nội tiếp được đường tròn.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

a) 

Vì MD là tiếp tuyến tại D của (O) nên \(\widehat {ODM} = {90^0}\)

(O) có dây AB không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB

\( \Rightarrow OI \bot AB \Rightarrow \widehat {OIM} = {90^0}\)

Tứ giác OIMD có:

\(\widehat {ODM} + \widehat {OIM} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

=>Tứ giác OIMD nội tiếp được đường tròn.

b) 

(O) có:\(\widehat {MDA}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AD

            \(\widehat {MBD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

\( \Rightarrow \widehat {MDA} = \widehat {MBD}\)

\(\Delta \)MDA và \(\Delta \)MBD có: \(\widehat {DMB}\) chung, \(\widehat {MDA} = \widehat {MBD}\)

\( \Rightarrow \Delta MDA \sim \Delta MBD\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{MA}}{{MD}} \Rightarrow M{D^2} = MA.MB\)

c) Vì \(\widehat {MDE}\) là góc nội tiếp chắn cung DN nên \(\widehat {MDE} = \frac{1}{2}{\rm{sdDN}}\)

(O) có ON \( \bot \) dây AB => cung NA = cung NB (liên hệ giữa cung và dây)

Vì \(\widehat {MED}\) là góc có đỉnh ở bên trong (O) nên:

Nhưng MC= MD (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

=> MC = ME => tam giác MCE cân tại M

d) Gọi H là giao điểm của OM và CD

Ta có: OC = OD và MC = MD

=> OM là đường trung trực của CD

\( \Rightarrow OM \bot CD\) tại H

\(\Delta \)OIM và \(\Delta \)OHF có: \(\widehat {MOF}\) chung, \(\widehat {OIM} = \widehat {OHF} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \frac{{OI}}{{OH}} = \frac{{OM}}{{OF}} \Rightarrow OI.OF = OH.OM\)

\(\Delta \)ODM vuông tại D, đường cao DH

\( \Rightarrow OH.OM = O{D^2}\) và \(\frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{M{D^2}}} = \frac{1}{{D{H^2}}}\)

Mà \(OI.OF = OH.OM = O{D^2}\), MD = ME, DH = \(\frac{1}{2}\)CD

\( \Rightarrow \frac{1}{{OI.OF}} + \frac{1}{{M{E^2}}} = \frac{4}{{C{D^2}}}\) (đpcm)

 

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 9

Lớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK