Bài tập Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có đáp án !!

Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ ba số (–3; 2;–1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.

a) $\left\{\begin{array}{l}x+2y-3z=1\\ 2x-3y+7z=15\\ 3x^2-4y+z=-3\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}-x+y+z=4\\ 2x+y-3z=-1\\ 3x-2z=-7\end{array}\right.$.

Hệ bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác.

Cho hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ y+z=7\\ 2z=4\end{array}\right.$.

Hệ phương trình dạng tam giác có cách giải rất đơn giản.

Từ phương trình cuối hãy tính z, sau đó thay vào phương trình thứ hai để tìm y, cuối cùng thay y và z tìm được vào phương trình đầu để tìm x.

Giải hệ phương trình:

Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng phương pháp Gauss. Cho hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x+y-2z=3\\ -x+y+6z=13\\ 2x+y-9z=-5\end{array}\right.$.

a) Khử ẩn x của phương trình thứ hai bằng cách cộng phương trình này với phương trình thứ nhất. Viết phương trình nhận được (phương trình này không còn chứa ẩn x và là phương trình thứ hai của hệ mới, tương đương với hệ ban đầu).

b) Khử ẩn x của phương trình thứ ba bằng cách nhân phương trình thứ nhất với –2 và cộng với phương trình thứ ba. Viết phương trình thứ ba mới nhận được. Từ đó viết hệ mới nhận được sau hai bước trên (đã khử x ở hai phương trình cuối).

c) Làm tương tự đối với hệ mới nhận được ở câu b), từ phương trình thứ hai và thứ ba khử ẩn y ở phương trình thứ ba. Viết hệ dạng tam giác nhận được.

d) Giải hệ dạng tam giác nhận được ở câu c). Từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x+y-3z=3\\ x+y+3z=2\\ 3x-2y+z=-1\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}4x+y+3z=-3\\ 2x+y-z=1\\ 5x+2y=1\end{array}\right.$;

c) $\left\{\begin{array}{l}x+2z=-2\\ 2x+y-z=1\\ 4x+y+3z=-3\end{array}\right.$.

Hà mua văn phòng phẩm cho nhóm bạn cùng lớp gồm Hà, Lan và Minh hết tổng cộng 820 nghìn đồng. Hà quên không lưu hoá đơn của mỗi bạn, nhưng nhớ được rằng số tiền trả cho Lan ít hơn một nửa số tiền trả cho Hà là 5 nghìn đồng, số tiền trả cho Minh nhiều hơn số tiền trả cho Lan là 210 nghìn đồng. Hỏi mỗi bạn Lan và Minh phải trả cho Hà bao nhiêu tiền?

Dùng máy tính cầm tay đề tìm nghiệm của hệ:

Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của các hệ phương trình trong Ví dụ 3, Ví dụ 4, Ví dụ 5 và Luyện tập 3.

Tại một quốc gia, khoảng 400 loài động vật nằm trong danh sách các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Các nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm 55% các loài có nguy cơ tuyệt chủng. Nhóm chim chiếm nhiều hơn 0,7% so với nhóm cá, nhóm cá chiếm nhiều hơn 1,5% so với động vật có vú. Hỏi mỗi nhóm động vật có vú, chim và cá chiếm bao nhiêu phần trăm trong các loài có nguy cơ tuyệt chủng?

Hệ nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Kiểm tra xem bộ số (2; 0;–1) có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không.

a) $\left\{\begin{array}{ll}x-2z& =4\\ 2x+y-z& =5\\ -3x+2y& =-6\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}x-2y+3z=7\\ 2x-y^2+z=2\\ x+2y=-1\end{array}\right.$.

Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-y-z=20\\ x+y=-5\\ x=10\end{array};\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}x-y-3z=20\\ x-z=3\\ x+3z=-7\end{array}.\right.$

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-y-z=2\\ x+y=3\\ x-y+z=2\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}3x-y-z=2\\ x+2y+z=5\\ -x+y=2\end{array}\right.$;

c) $\left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 2x-y+2z=6\\ 4x-7y=-6\end{array}\right.$;

d) $\left\{\begin{array}{l}x-3y-z=-6\\ 2x-y+2z=6\\ 4x-7y=3\end{array}\right.$;

e) $\left\{\begin{array}{l}3x-y-7z=2\\ 4x-y+z=11\\ -5x-y-9z=-22\end{array}\right.$;

f) $\left\{\begin{array}{l}2x-3y-4z=-2\\ 5x-y-2z=3\\ 7x-4y-6z=1\end{array}\right.$.

Kiểm tra lại kết quả tìm được bằng cách sử dụng máy tính cầm tay.

Ba người cùng làm việc cho một công ty với vị trí lần lượt là quản lí kho, quản lí văn phòng và tài xế xe tải. Tổng tiền lương hằng năm của người quản lí kho và người quản lí văn phòng là 164 triệu đồng, còn của người quản lí kho và tài xế xe tải là 156 triệu đồng. Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều hơn tài xế xe tải 8 triệu đồng. Hỏi lương hằng năm của mỗi người là bao nhiêu?

Năm ngoái, người ta có thể mua ba mẫu xe ôtô của ba hãng X, Y, Z với tổng số tiền là 2,8 tỉ đồng. Năm nay, do lạm phát, để mua ba chiếc xe đó cần 3,018 tỉ đồng. Giá xe ôtô của hãng X tăng 8%, của hãng Y tăng 5% và của hãng Z tăng 12%. Nếu trong năm ngoái giá chiếc xe của hãng Y thấp hơn 200 triệu đồng so với giá chiếc xe của hãng X thì giá của mỗi chiếc xe trong năm ngoái là bao nhiêu?

Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau

$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_3\end{array}\right.$.

a) Giả sử (x0; y0; z0) và (x1; y1; z1) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên. Chứng minh rằng $\left(\frac{x_0+x_1}{2};\frac{y_0+y_1}{2};\frac{z_0+z_1}{2}\right)$ cũng là một nghiệm của hệ.

b) Sử dụng kết quả của câu a) chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.

Chúng ta đã biết cách mô tả mối liên hệ giữa hai ẩn số x, y phải thoả mãn đồng thời hai điều kiện a₁x + b₁y = c₁ (a₁2 + b₁2 > 0) và a₂x + b₂y = c₂ (a₂2 + b₂2 > 0) bằng cách sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

Trong bài học này, ta sẽ học cách giải quyết tình huống cần mô tả mối liên hệ giữa ba ẩn số x, y, z phải thoả mãn đồng thời ba điều kiện:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁; a₂x + b₂y + c₂z = d₂ và a₃x + b₃y + c₃z = d₃.

Ba lớp 10A, 10B, 10C gồm 128 học sinh cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi học sinh lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi học sinh lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi học sinh lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả 3 lớp trồng được 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của các lớp 10A, 10B, 10C.

a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z.

b) Trong bảng dữ liệu sau, chọn các số liệu phù hợp với số học sinh của mỗi lớp 10A, 10B, 10C và giải thích sự lựa chọn của bạn.

Hệ phương trình nào dưới đây là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (1; 5; 2), (1; 1; 1) và (–1; 2; 3) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?

(1) $\{\begin{array}{l}4x-2y+z=5\\ 4xz-5y+2z=-7\\ -x+3y+2z=3\end{array}.$

(2) $\{\begin{array}{l}x+2z=5\\ 2x-y+z=-1\\ 3x-2y=-7\end{array}.$

Cho các hệ phương trình:

(1) $\{\begin{array}{l}2x-y+z=1\\ 3y-z=2\\ 2z=3\end{array};$

(2) $\{\begin{array}{l}2x-y+z=1\\ 2y+z=-1\\ 2y-z=-4\end{array}.$

a) Hệ phương trình (1) có gì đặc biệt? Giải hệ phương trình này.

b) Biến đổi hệ phương trình (2) về dạng như hệ phương trình (1). Giải hệ phương trình (2).

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\{\begin{array}{l}x-2y=1\\ x+2y-z=-2\\ x-3y+z=3\end{array};$

b) $\{\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ x+2y-z=1\\ 2x-3y+3z=2\end{array};$

c) $\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ x-4y+2z=-1\\ 4x-y+3z=1\end{array}.$

Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), biết (P) đi qua ba điểm A(0; –1), B(1; –2) và C(2; –1).

Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{l}2x+y-z=-1\\ x+3y+2z=2\\ 3x+3y-3z=-5;\end{array}$ 

b) $\{\begin{array}{l}2x-3y+2z=5\\ x+2y-3z=4\\ 3x-y-z=2;\end{array}$ 

c) $\{\begin{array}{l}x-y-z=-1\\ 2x-y+z=-1\\ -4x+3y+z=3.\end{array}$

Ba bạn Nhân, Nghĩa và Phúc đi vào căng tin của trường. Nhân mua một li trà sữa, một li nước trái cây, hai cái bánh ngọt và trả 90000 đồng. Nghĩa mua một li trà sữa, ba cái bánh ngọt và trả 50000 đồng. Phúc mua một li trà sữa, hai li nước trái cây, ba cái bánh ngọt và trả 140000 đồng. Gọi x, y, z lần lượt là giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó.

a) Lập các hệ thức thể hiện mối liên hệ giữa x, y và z.

b) Tìm giá tiền của một li trà sữa, một li nước trái cây và một cái bánh ngọt tại căng tin đó.

Trong các hệ phương trình sau, hệ nào là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn? Mỗi bộ ba số (–1; 2; 1), (–1,5; 0,25; –1,25) có là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn đó không?

a) $\{\begin{array}{l}3x-2y+z=-6\\ -2x+y+3z=7\\ 4x-y+7z=1\end{array};$

b) $\{\begin{array}{l}5x-2y+3z=4\\ 3x+2yz-z=2\\ x-3y+2z=-1\end{array};$

c) $\{\begin{array}{l}2x-4y-3z=\frac{-1}{4}\\ 3x+8y-4z=\frac{5}{2}\\ 2x+3y-2z=\frac{1}{4}\end{array}.$

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\{\begin{array}{l}2x+3y=4\\ x-3y=2\\ 2x+y-z=3\end{array};$

b) $\{\begin{array}{l}x+y+z=2\\ x+3y+2z=8\\ 3x-y+z=4\end{array};$

c) $\{\begin{array}{l}x-y+5z=-2\\ 2x+y+4z=2\\ x+2y-z=4\end{array}.$

Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{l}x-5z=2\\ 3x+y-4z=3\\ -x+2y+z=-1\end{array};$

b) $\{\begin{array}{l}2x-y+z=3\\ x+2y-z=1\\ 3x+y-2z=2\end{array};$

c) $\{\begin{array}{l}x+2y-z=1\\ 2x+y-2z=2\\ 4x-7y-4z=4\end{array}.$

Tìm phương trình của parabol (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), biết:

a) Parabol (P) có trục đối xứng x = 1 và đi qua hai điểm A(1; –4), B(2; –3);

b) Parabol (P) có đỉnh I= $(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ và đi qua điểm M(–1; 3).

Một đại lí bán ba loại gas A, B, C với giá bán mỗi bình gas lần lượt là 520000 đồng, 480000 đồng, 420000 đồng. Sau một tháng, đại lí đã bán được 1299 bình gas các loại với tổng doanh thu đạt 633960000 đồng. Biết rằng trong tháng đó, đại lí bán được số bình gas loại B bằng một nửa tổng số bình gas loại A và C. Tính số bình gas mỗi loại mà đại lí bán được trong tháng đó.