xét các trường hợp các số điểm ≥ 0

khi đúng 5 bài, sai 0 bài thì học sinh đạt được 20 điểm

khi đúng 4 bài, sai 1 bài thì học sinh đạt được 14 điểm

khi đúng 3 bài, sai 2 bài thì học sinh đạt được 8 điểm

khi đúng 2 bài, sai 3 bài thì học sinh đạt được 2 điểm

học sinh không thể đúng 1 hoặc 0 câu vì như thế số điểm sẽ <0 (trái với đề bài)

có 4 trường hợp mà 6 thí sinh làm bài (áp dụng định lý dirichlet)

⇒ trong 6 thí sinh đó, có ít nhất 2 thí sinh bằng điểm nhau

Giải thích các bước giải:

Gọi $d = ƯCLN(n³+2n; n^{4}+3n²+1)$ 

Theo đề bài ra ta có :

$\left \{ {{(n³+2n) \vdots d} \atop {(n^{4}+3n²+1) \vdots d}} \right.$

⇒ $\left \{ {{n(n³+2n) \vdots d} \atop {(n^{4}+3n²+1) \vdots d}} \right.$ 

⇒ $\left \{ {{(n^{4}+2n²) \vdots d} \atop {(n^{4}+3n²+1) \vdots d}} \right.$ 

⇒ $(n^{4}+3n²+1) - (n^{4}+2n²) \vdots d$

⇒ $n² + 1 \vdots d (1)$

⇒ $n²(n² + 1) \vdots d$

⇒ $n^{4}+n² \vdots d$

Mà $n^{4}+2n² \vdots d$

⇒ $(n^{4}+2n²) - (n^{4}+n²) \vdots d$

⇒ $n² \vdots d (2)$

Từ $(1) và (2)$ 

⇒ $(n² + 1) -n² \vdots d (1)$

⇒ $1 \vdots d (1)$

⇒ $d ∈ Ư(1) = ±1$

⇒ $d = ±1$

⇒ $n³+2n; n^{4}+3n²+1$ nguyên tố cùng nhau

⇒ $\dfrac{n³+2n}{n^{4}+3n²+1}$ là phân số tối giản $(đpcm)$

$C$húc bạn học tốt !