Đáp án:

`1,`

Áp dụng định lí Pitago cho `ΔMNP` vuông tại `M` có :

`MN^2 + MP^2 = NP^2`

`-> NP^2 = 5^2 + 10^2`

`-> NP^2 = 125`

`-> NP = \sqrt{125}cm`

$\\$

Vì `MN⊥MP` (Do `ΔMNP` vuông tại `M`)

`-> S_{ΔMNP} = 1/2 MN . MP`

`-> S_{ΔMNP} = 1/2 . 5. 10`

`-> S_{ΔMNP} =25cm`

Lại có : `MH⊥NP`

`-> S_{ΔMNP} = 1/2 MH . NP`

`-> 25 = 1/2 MH . \sqrt{125}`

`-> 1/2MH = \sqrt{5}`

`-> MH = 2 \sqrt{5}cm`

$\\$

$\\$

$2,$

Xét `ΔMND` và `ΔEND` có :

`MN = NE` (giả thiết)

`ND` chung

`hat{MND} = hat{END}` (giả thiết)

`-> ΔMND = ΔEND` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{NMD} = hat{NED}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{NMD} = 90^o`

`-> hat{NED} = 90^o`

hay `DE⊥NP`

$\\$

Ta có : `MN = NE` (giả thiết)

`-> N` nằm trên đường trung trực của `ME` `(1)`

Vì `ΔMND = ΔEND` (chứng minh trên)

`-> MD = DE` (2 cạnh tương ứng)

`-> D` nằm trên đường trung trực của `ME` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`-> ND` là đường trung trực của `ME`

$\\$

$\\$

$3,$

Xét `ΔDEP` vuông tại `E` có :

`DP` là cạnh lớn nhất

`-> DE < DP`

mà `MD = DE` (chứng minh trên)

`-> MD < DP`

$\\$

$\\$

$4,$

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}MH⊥NP\\DE⊥NP\end{array} \right.\)

$→ MH//DE$

`-> hat{MKD} = hat{NDE}` (2 góc so le trong)

mà `hat{MDK} = hat{NDE}` (Vì `ΔMND = ΔEND`)

`-> hat{MKD} = hat{MDK} (= hat{NDE})`

`-> ΔMKD` cân tại `M`

$\\$

$\\$

$5,$

Gọi `A` là giao của `ME` và `KD`

$\\$

Ta có : `MN = NE` (chứng minh trên)

`-> ΔMNE` cân tại `N`

`NA` là đường phân giác

`-> NA` là đường trung tuyến

Vì $MH//DE$

`-> hat{KMA} = hat{DEA}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔKMA` và `ΔDEA` có :

`hat{KMA} = hat{DEA}` (chứng minh trên)

`hat{KAM} = hat{DAE}` (2 góc đối đỉnh)

`MA = EA` (Vì `NA` là đường trung tuyến)

`-> ΔKMA = ΔDEA` (góc - cạnh - góc)

`-> KA = DA` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Xét `ΔKAE` và `ΔDAM` có :

`hat{KAE} = hat{DAM}` (2 góc đối đỉnh)

`MA = EA`  (Vì `NA` là đường trung tuyến)

`KA =DA` (chứng minh trên)

`-> ΔKAE = ΔDAM` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{AKE} = hat{ADM}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ EK//MP$

mà `MP⊥MN` (Vì `ΔMNP` vuông tại `M`)

`-> EK⊥MN`

$\\$

$\\$

$6,$

Xét `ΔDMI` và `ΔDEP` có :

`hat{DMI} = hat{DEP} = 90^o`

`MD = DE` (chứng minh trên)

`MI = EP` (giả thiết)

`-> ΔDMI = ΔDEP` (cạnh - góc -cạnh)

`-> hat{MDI} = hat{EDP}` (2 góc tương ứng)

$\\$

Ta có : `hat{EDP} + hat{EDM} = 180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{MDI} = hat{EDP}`

`-> hat{MDI} + hat{EDM} = 180^o`

`-> hat{EDI}` là góc bẹt

`-> E,D,I` thẳng hàng

$\\$

$\\$

$7,$

Vì `ΔMNE` cân tại `N` (chứng minh trên)

`-> hat{NME} = hat{NEM} = (180^o - hat{N})/2` `(3)`

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}MN + MI = NI\\NE + EP = NP\end{array} \right.\)

mà `MN = NE, MI = EP`

`-> NI = NP`

`-> ΔINP` cân tại `N`

`-> hta{NIP} = hat{NPI} = (180^o - hat{N})/2` `(4)`

$\\$

Từ `(3)` và `(4)`

`-> hat{NME} = hat{NIP} (= (180^o - hat{N})/2)`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ ME//PI$