Giải thích các bước giải:

a.Ta có $BH\perp AC$

$\to BD^2=BH^2+HD^2=BH^2+HC^2=BC^2$

$\to BD=BC$

b.Ta có $BH\perp AC, BA<BC$

$\to HA<HC$ (Quanh hệ đường xiên, hình chiếu)

c.Xét $\Delta BDI$ có:

$BH\perp AC\to DA\perp BI, AK\perp BD\to IA\perp BD$

$\to A$ là trực tâm $\Delta BDI\to BA\perp DI$

d.Ta có $BH\perp DC$ tại $H$ thỏa mãn $HC=HD$

$\to\Delta BCD$ cân tại $B$

$\to BH$ là phân giác $\widehat{DBC}$

Vì $BA\perp DI,\hat B=90^o\to BA\perp BC\to DI//BC$

$\to \widehat{DIB}=\widehat{HBC}=\widehat{HBD}=\widehat{IBD}$

$\to\Delta BDI$ cân tại $D$

Để $\Delta BDI$ đều

$\to \widehat{DIB}=60^o$

$\to\widehat{HBC}=60^o$

$\to\widehat{HCB}=90^o-\widehat{HBC}=30^o\to\widehat{ACB}=30^o$

Đáp án:

`a,`

Xét `ΔDBH` và `ΔCBH` có :

`HC = HD` (giả thiết)

`hat{BHC} = hat{BHD} = 90^o`

`BH` chung

`-> ΔDBH = ΔCBH` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BC = BD` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$b,$

Xét `ΔABC` có :

`BH` là đường vuông góc

`AB < BC` (giả thiết)

Áp dụng quan hệ đường xiên xiên và hình chiếu có :

`AH < HC`

$\\$

$\\$

$c,$

Xét `ΔDBI` có :

`DH` là đường cao

`IK` là đường cao

`DH` cắt `IK` tại `A`

`-> A` là trực tâm của `ΔDBI`

`-> BA` là đường cao

`-> BA⊥DI`

$\\$

$\\$

$d,$

Ta có : `BD = BC` (chứng minh trên)

`-> ΔDBC` cân tại `B`

mà `BH` là đường cao

`-> BH` là đường phân giác

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}BA⊥BC\\BA⊥DI\end{array} \right.\) (giả thiết, chứng minh trên)

$→ DI//BC$

`-> hat{DIB} = hat{HBC}` (2 góc so le trong)

mà `hat{DBI} = hat{HBC}` (Vì `BH` là đường phân giác)

`-> hat{DIB} = hat{DBI} (= hat{HBC})`

`-> ΔDBI` cân tại `D`

$\\$

Để `ΔDBI` đều

`-> hat{DIB} = 60^o`

mà `hat{DIB} = hat{HBC}`

`-> hat{HBC} = 60^o`

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔBHC` có :

`hat{BHC} + hat{HBC} + hat{ACB} = 180^o`

`-> hat{ACB} = 180^o - 90^o - 60^o`

`-> hat{ACB} = 30^o`

Để `ΔDBI` đều cần `hat{ACB} = 30^o` của `ΔABC`