Giải thích các bước giải:

1.Ta có $\Delta MNP$ vuông tại $M$

$\to NP^2=MN^2+MP^2=125$

$\to NP=5\sqrt{5}$

Ta có $MN\perp MP$

$\to S_{MNP}=\dfrac12MN\cdot MP=25$

Mặt khác do $MH\perp NP$

$\to S_{MNP}=\dfrac12MH\cdot NP$

$\to \dfrac12MH\cdot NP=25$

$\to MH=2\sqrt5$

2. Xét $\Delta MND,\Delta END$ có:

Chung $ND$

$\widehat{MND}=\widehat{END}$ vì $ND$ là phân giác $\hat N$

$NM=NE$

$\to\Delta NMD=\Delta NED(c.g.c)$

$\to \widehat{DEN}=\widehat{DMN}=90^o$

$\to DE\perp NP$

Mặt khác $DM=DE, NM=NE$

$\to N, D\in$ trung trực $ME$

$\to ND$ là trung trực $ME$

3.Ta có $DE\perp NP\to DE<DP$

Mà $DE=DM\to DM<DP$

4.Ta có:

$\widehat{MDK}=\widehat{MDN}=90^o-\widehat{MND}=90^o-\dfrac12\hat N=90^o-\widehat{KNH}=\widehat{NKH}=\widehat{MKD}$

$\to\Delta MKD$ cân tại $M$

5.Vì $ND$ là trung trực $ME\to ND\perp ME$

Mà $MH\perp NP\to MH\perp NE$

      $MH\cap ND=K$

$\to K$ là trực tâm $\Delta MNE\to EK\perp MN$

6.Xét $\Delta MNP,\Delta NEI$ có:

$NM=NE$

Chung $\hat N$

$NP=NE+EP=NM+MI=NI$

$\to\Delta NMP=\Delta NEI(c.g.c)$

$\to \widehat{NEI}=\widehat{NMP}=90^o$

$\to IE\perp NP$

Mà $DE\perp NP\to I,D,E$ thẳng hàng

7.Từ câu 6 ta có $NP=NI$

$\to\Delta NPI$ cân tại $N$

Mặt khác $NM=NE\to\Delta NME$ cân tại $N$

$\to \widehat{NME}=90^o-\dfrac12\hat N=\widehat{NIP}$

$\to ME//PI$

8.Vì $\Delta MNE$ cân tại $N$

$\to$Để $\Delta NME$ đều

$\to \widehat{MNE}=60^o$

$\to \widehat{MNP}=60^o$

9.Để $E$ là trung điểm $NP$

$\to NP=2NE=2NM$

Mà $\Delta MNP$ vuông tại $M$

$\to\Delta MNP$ là nửa tam giác đều cạnh $NP$

$\to \widehat{MNP}=60^o$

10.Khi $NP=2MN$ kết hợp câu $9\to \widehat{MNP}=60^o$

$\to \Delta NME, \Delta NIP$ đều vì $\Delta NME, \Delta NPI$ cân 

Ta có $MQ//NP$

$\to \widehat{IQM}=\widehat{IPN}=60^o, \widehat{IMQ}=\widehat{INP}=60^o$

$\to\Delta IMQ$ đều

$\to QI=QM$

Mặt khác $\widehat{QMP}=90^o-\widehat{IMQ}=30^o=90^o-\widehat{MIP}=\widehat{QPM}$

$\to\Delta QMP$ cân tại $Q\to QM=QP$

$\to QI=QP(=QM)$

$\to Q$ là trung điểm $PI$

Ta có $\Delta INP$ đều, $ND$ là phân giác $\hat N$
$\to ND$ đồng thời là trung tuyến

$\to ND$ đi qua $Q$

$\to N , D, Q$ thẳng hàng

Đáp án:

`1,`

Áp dụng định lí Pitago cho `ΔMNP` vuông tại `M` có :

`MN^2 + MP^2 = NP^2`

`-> NP^2 = 5^2 + 10^2`

`-> NP^2 = 125`

`-> NP = \sqrt{125}cm`

$\\$

Vì `MN⊥MP` (Do `ΔMNP` vuông tại `M`)

`-> S_{ΔMNP} = 1/2 MN . MP`

`-> S_{ΔMNP} = 1/2 . 5. 10`

`-> S_{ΔMNP} =25cm`

Lại có : `MH⊥NP`

`-> S_{ΔMNP} = 1/2 MH . NP`

`-> 25 = 1/2 MH . \sqrt{125}`

`-> 1/2MH = \sqrt{5}`

`-> MH = 2 \sqrt{5}cm`

$\\$

$\\$

$2,$

Xét `ΔMND` và `ΔEND` có :

`MN = NE` (giả thiết)

`ND` chung

`hat{MND} = hat{END}` (giả thiết)

`-> ΔMND = ΔEND` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{NMD} = hat{NED}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{NMD} = 90^o`

`-> hat{NED} = 90^o`

hay `DE⊥NP`

$\\$

Ta có : `MN = NE` (giả thiết)

`-> N` nằm trên đường trung trực của `ME` `(1)`

Vì `ΔMND = ΔEND` (chứng minh trên)

`-> MD = DE` (2 cạnh tương ứng)

`-> D` nằm trên đường trung trực của `ME` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`-> ND` là đường trung trực của `ME`

$\\$

$\\$

$3,$

Xét `ΔDEP` vuông tại `E` có :

`DP` là cạnh lớn nhất

`-> DE < DP`

mà `MD = DE` (chứng minh trên)

`-> MD < DP`

$\\$

$\\$

$4,$

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}MH⊥NP\\DE⊥NP\end{array} \right.\)

$→ MH//DE$

`-> hat{MKD} = hat{NDE}` (2 góc so le trong)

mà `hat{MDK} = hat{NDE}` (Vì `ΔMND = ΔEND`)

`-> hat{MKD} = hat{MDK} (= hat{NDE})`

`-> ΔMKD` cân tại `M`

$\\$

$\\$

$5,$

Gọi `A` là giao của `ME` và `KD`

$\\$

Ta có : `MN = NE` (chứng minh trên)

`-> ΔMNE` cân tại `N`

`NA` là đường phân giác

`-> NA` là đường trung tuyến

Vì $MH//DE$

`-> hat{KMA} = hat{DEA}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔKMA` và `ΔDEA` có :

`hat{KMA} = hat{DEA}` (chứng minh trên)

`hat{KAM} = hat{DAE}` (2 góc đối đỉnh)

`MA = EA` (Vì `NA` là đường trung tuyến)

`-> ΔKMA = ΔDEA` (góc - cạnh - góc)

`-> KA = DA` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Xét `ΔKAE` và `ΔDAM` có :

`hat{KAE} = hat{DAM}` (2 góc đối đỉnh)

`MA = EA`  (Vì `NA` là đường trung tuyến)

`KA =DA` (chứng minh trên)

`-> ΔKAE = ΔDAM` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{AKE} = hat{ADM}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ EK//MP$

mà `MP⊥MN` (Vì `ΔMNP` vuông tại `M`)

`-> EK⊥MN`

$\\$

$\\$

$6,$

Xét `ΔDMI` và `ΔDEP` có :

`hat{DMI} = hat{DEP} = 90^o`

`MD = DE` (chứng minh trên)

`MI = EP` (giả thiết)

`-> ΔDMI = ΔDEP` (cạnh - góc -cạnh)

`-> hat{MDI} = hat{EDP}` (2 góc tương ứng)

$\\$

Ta có : `hat{EDP} + hat{EDM} = 180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{MDI} = hat{EDP}`

`-> hat{MDI} + hat{EDM} = 180^o`

`-> hat{EDI}` là góc bẹt

`-> E,D,I` thẳng hàng

$\\$

$\\$

$7,$

Vì `ΔMNE` cân tại `N` (chứng minh trên)

`-> hat{NME} = hat{NEM} = (180^o - hat{N})/2` `(3)`

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}MN + MI = NI\\NE + EP = NP\end{array} \right.\)

mà `MN = NE, MI = EP`

`-> NI = NP`

`-> ΔINP` cân tại `N`

`-> hat{NIP} = hat{NPI} = (180^o - hat{N})/2` `(4)`

$\\$

Từ `(3)` và `(4)`

`-> hat{NME} = hat{NIP} (= (180^o - hat{N})/2)`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ ME//PI$

$\\$

$\\$

$8,$

Có : `MN = NE`

`-> ΔMNE` cân tại `N`

Lại có : `hat{INP} = 60^o` hay `hat{MNE} = 60^o` và `ΔMNP` vuông tại `M`

`-> ΔMNE` đều

Cần có `hat{MNE} = 60^o` để `ΔMNE` đều

$\\$

$\\$

$9,$

Để `E` là trung điểm của `NP`

`->NE = EP`

Để chứng minh được `NE = EP`

`-> ΔMNE` đều

`-> hat{MNP} = 60^o`

Cần có `hat{MNP} = 60^o` để `NE = EP`

`-> E` là trung điểm của `NP`

$\\$

$\\$

$10,$

Vì `NP = 2MN`

mà `ΔMNP` vuông tại `M`

`-> hat{MNP} = 60^o`

Có : `ΔMNE` cân tại `N`, `ΔINP` cân tại `N`

`-> ΔMNE` đều, `ΔINP` đèu

$\\$

Vì $MQ//NP$

`-> hat{IMQ} = hat{INP} =60^o` (2 góc đồng vị)

và `hat{IPN} = hat{IQM} = 60^o` (2 góc đồng vị)

Có : `hat{IMQ} = hat{IQM} = hat{MIQ} = 60^o`

`-> ΔIMQ` đều

`-> IQ = IM`

Vì `ΔINP` đều

`PM` là đường cao

`-> PM` là đường phân giác

Vì $MQ//NP$

`-> hat{QMP} = hat{MPN}` (2 góc so le trong)

mà `hat{QPM} = hat{MPN}` (Vì `PM` là đường phân giác)

`-> hat{QMP} = hat{QPM}`

`-> ΔMQP` cân tại `Q`

`-> QP = QM`

mà `QI = QM`

`-> QP = QI`

hay `NQ` là đường trung tuyến của `ΔINP`

$\\$

Vì `ΔINP` đều

`NQ` là đường trung tuyến

`-> NQ` là đường phân giác

mà `ND` là đường phân giác

`-> N,Q,D` thẳng hàng