Đáp án:

`1,`

Áp dụng định lí Pitago cho `ΔMNP` vuông tại `M` có :

`MN^2 + MP^2 = NP^2`

`-> NP^2 = 5^2 + 10^2`

`-> NP^2 = 125`

`-> NP = \sqrt{125}cm`

$\\$

Vì `MN⊥MP` (Do `ΔMNP` vuông tại `M`)

`-> S_{ΔMNP} = 1/2 MN . MP`

`-> S_{ΔMNP} = 1/2 . 5. 10`

`-> S_{ΔMNP} =25cm`

Lại có : `MH⊥NP`

`-> S_{ΔMNP} = 1/2 MH . NP`

`-> 25 = 1/2 MH . \sqrt{125}`

`-> 1/2MH = \sqrt{5}`

`-> MH = 2 \sqrt{5}cm`

$\\$

$\\$

$2,$

Xét `ΔMND` và `ΔEND` có :

`MN = NE` (giả thiết)

`ND` chung

`hat{MND} = hat{END}` (giả thiết)

`-> ΔMND = ΔEND` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{NMD} = hat{NED}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{NMD} = 90^o`

`-> hat{NED} = 90^o`

hay `DE⊥NP`

$\\$

Ta có : `MN = NE` (giả thiết)

`-> N` nằm trên đường trung trực của `ME` `(1)`

Vì `ΔMND = ΔEND` (chứng minh trên)

`-> MD = DE` (2 cạnh tương ứng)

`-> D` nằm trên đường trung trực của `ME` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`-> ND` là đường trung trực của `ME`

$\\$

$\\$

$3,$

Xét `ΔDEP` vuông tại `E` có :

`DP` là cạnh lớn nhất

`-> DE < DP`

mà `MD = DE` (chứng minh trên)

`-> MD < DP`

$\\$

$\\$

$4,$

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}MH⊥NP\\DE⊥NP\end{array} \right.\)

$→ MH//DE$

`-> hat{MKD} = hat{NDE}` (2 góc so le trong)

mà `hat{MDK} = hat{NDE}` (Vì `ΔMND = ΔEND`)

`-> hat{MKD} = hat{MDK} (= hat{NDE})`

`-> ΔMKD` cân tại `M`

`\text{1)}`

Áp dụng định lý Py-ta-go cho `\Delta MNP` vuông tại `M` ta được :

`MN^2 +MP^2 = NP^2` 

`=> 5^2 + 10^2 = NP^2`

`=> NP^2 = 125`

`=> NP = \sqrt{125} cm ≈ 11,2cm`

Áp dụng định lý Py-ta-go cho `\Delta MHP` và `\Delta MHN` cùng vuông tại `H` ta được :

`MH^2 + HP^2 = MP^2` 

`MH^2 + NH^2 = MN^2`

`=> MH^2 + MH^2 + HP^2 + NH^2 = MP^2 + MN^2`

`=> 2MH + HP + NH = 15`

`=> 2MH +  NP = 15`

`=> 2MH + 11,2cm = 15`

`=> 2HM = 3,8`

`=> HM = 1,9` (cm)

`\text{2)}`         

Xét `\Delta MND` và `\Delta END` có :

`MN = NE ( \text{gt} )`

`\hat{END} = \hat{DNM} (\text{gt})`

`ND` _ cạnh chung

`=> \Delta MDN = \Delta END ( c . g .c )`

`=> \hat{M} = \hat{E}`

`=> \hat{E} = 90^o`

`=> NE ⊥ ED`

Gọi `ND ∩ EM = {I}`

Chứng minh tương tự : `\Delta INE = \Delta INM ( c .g .c )`

`=> \hat{EIN} = \hat{NIM}` và `EI = IM` 

Mà `\hat{EIN} + \hat{NIM}  = 180^o` ( `2` góc kề bù )

`=> NI ⊥ EM`

`=> ND` là đường trung trực của đoạn `ME`

`\text{3)}` 

Do `ND  < NP`

`=> MD < DP` ( Quan hệ giữa hình xiên và đườngc hiếu )

`\text{4)}`  

Ta có :

`MH ⊥ NP`

`DE ⊥ NP`

`=> HM \text{//} ED` ( Quan hệ từ `⊥ -> \text{ // } ` )

`=> \hat{MKD} = \hat{EDK}` ( `2` góc so le trong )

Lại có :  `\hat{NDE} = \hat{NDM} ( \Delta END = \Delta MND )`

`=> \hat{MKD} = \hat{MDK}`

`=> \Delta MKD` cân tại `M`