Đáp án:

`a,`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{ABC} = hat{ACB} = (180^o - hat{A})/2` `(1)`

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB + BD = AD\\AC  + CE = AE\end{array} \right.\)

mà `AB = AC, BD = CE`

`-> AD = AE`

`-> ΔADE` cân tại `A`

`-> hat{ADE} = hat{AED} = (180^o - hat{A})/2` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> hat{ABC} = hat{ADE} (= (180^o - hat{A})/2)`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ DE//BC$

$\\$

$\\$

$b,$

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{ABC}=\widehat{DBM}\\ \widehat{ACB}=\widehat{ECN}\end{array} \right.\) (2 góc đối đỉnh)

mà `hat{ABC} =hat{ACB}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> hat{DBM} = hat{ECN}` 

Xét `ΔDBM` và `ΔECN` có :

`hat{DMB} = hat{ENC} = 90^o`

`hat{DBM} = hat{ECN}` (chứng minh trên)

`BD =CE` (giả thiết)

`-> ΔDBM = ΔECN` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> BM = CN` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$c,$

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^o\\ \widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^o\end{array} \right.\) (2 góc kề bù)

mà `hat{ABC}= hat{ACB}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> hat{ABM} = hat{ACN}` 

Xét `ΔABM` và `ΔACN` có :

`hat{ABM} = hat{ACN}` (chứng minh trên)

`BM =CN` (chứng minh trên)

`AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔABM = ΔACN` (cạnh - góc - cạnh)

`-> AM = AN` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔAMN` cân tại `A`

$\\$

$\\$

$d,$

Gọi `K` và `H` lần lượt là giao của `BI` và `AM`, `CI` và `AN`

Xét `ΔMKB` và `ΔNHC` có :

`hat{MKB} = hat{NHC} = 90^o`

`BM = CN` (chứng minh trên)

`hat{M} = hat{N}` (Do `ΔAMN` cân tại `A`)

`-> ΔMKB = ΔNHC` (cạnh huyền - góc nhọn)

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}BK=CH\\MK=NH\end{array} \right.\) (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AK=AM-MK\\AH=AN-NH\end{array} \right.\)

mà `AM = AN, MK = NH`

`-> AK = AH`

Xét `ΔAKI` và `ΔAHI` có :

`hat{AKI} = hat{AHI} = 90^o`

`AI` chung

`AK = AH` (chứng minh trên)

`-> ΔAKI = ΔAHI` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`-> hat{KAI} = hat{HAI}` (2 góc tương ứng)

hay `AI` là tia phân giác của `hat{MAN}` `(3)`

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}BI = KI - BK\\CI=HI-CH\end{array} \right.\)

mà `KI = HI, BK = CK`

`-> BI = CI`

Xét `ΔABI` và `ΔACI` có :

`AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`BI = CI` (chứng minh trên)

`AI` chung

`-> ΔABI = ΔACI` (cạnh - cạnh - cạnh)

`-> hat{BAI} = hat{CAI}` (2 góc tương ứng)

hay `AI` là tia phân giác của `hat{BAC}` `(4)`

Từ `(3), (4)`

`-> AI` là tia phân giác chung của `hat{BAC}` và `hat{MAN}`

Đáp án: Mong bạn tham khảo

a) ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC; ∠ABC = ∠ACB

    ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180o180o

⇒ ∠BAC + 2 . ∠ABC = 180o180o

⇒      ∠ABC = 180o−∠BAC2180o−∠BAC2 (1)

Ta có: AB = AC (cmt); BD = CE (gt)

⇒ AB + BD = AC + CE

⇒    AD  = AE     

⇒ ΔADE cân tại A  ⇒ ∠ADE = ∠AED

    ∠DAE + ∠ADE + ∠AED = 180o180o

⇒ ∠DAE + 2 . ∠ADE = 180o180o

⇒      ∠ADE  = 180o−∠DAE2180o−∠DAE2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠ABC = ∠ADE

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị  ⇒ DE // BC

b) Ta có: ∠DBM = ∠ABC (2 góc đối đỉnh)

              ∠ECN = ∠ACB (2 góc đối đỉnh)

mà ∠ABC = ∠ACB (theo a) ⇒ ∠DBM = ∠ECN

Xét ΔDMB và ΔENC có:

        ∠DMB = ∠ENC = 90o90o

         BD = CE (gt)

         ∠DBM = ∠ECN (cmt)

⇒ ΔDMB = ΔENC (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ DM = EN (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có: ∠ABM + ∠ABC = 180o180o (2 góc kề bù)

              ∠ACN + ∠ACB = 180o180o (2 góc kề bù)

mà ∠ABC = ∠ACB (theo a) ⇒ ∠ABM = ∠ACN

Ta có: ΔDMB = ΔENC (theo b)

⇒ BM = CN (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔABM và ΔACN có:

       AB = AC (theo a)

      ∠ABM = ∠ACN (cmt)

       BM = CN (cmt)

⇒ ΔABM = ΔACN (2 cạnh tương ứng)

⇒ ΔAMN cân tại A

d) Gọi BH ⊥AM, CK ⊥ AN

Ta có: ΔABM = ΔACN (theo c)

⇒ ∠BAM = ∠CAN (2 góc tương ứng)

Xét ΔAHB và ΔAKC có: 

       AB = AC (theo a)

        ∠AHB = ∠AKC = 90o90o

        ∠BAH = ∠CAK (cmt)

⇒ ΔAHB = ΔAKC (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ ∠HAB = ∠KAC (2 góc tương ứng)

     AH = AK (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔAHI và ΔAKI có:

       AH = AK (cmt)

        AI: cạnh chung

        ∠AHI = ∠AKI = 90o90o

⇒ ΔAHI = ΔAKI (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒ ∠HAI = ∠KAI (2 góc tương ứng)

⇒ AI là tia phân giác của ∠MAN  (3)

Ta có: ∠HAB = ∠KAC (cmt); ∠HAI = ∠KAI (cmt)

⇒ ∠HAI - ∠HAB = ∠KAI - ∠KAC

⇒    ∠BAI  = ∠CAI

⇒ ∠AI là tia phân giác của ∠BAC (4)

Từ (3) và (4) ⇒ AI là p/g chung cuat ∠BAC và ∠MAN