Đáp án :

$a,$

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`AD` là đường cao

`-> AD` là đường phân giác

$\\$

Xét `ΔAND` và `ΔAMD` có :

`hat{AND} = hat{AMD} = 90^o`

`hat{NAD} = hat{MAD}` (Vì `AD` là đường phân giác)

`AD` chung

`-> ΔAND = ΔAMD` (cạnh huyền - góc nhọn)

$\\$

`-> AN = AM` (2 cạnh tương ứng) `-> A` nằm trên đường trung trực của `MN (1)`

và `DN = DM` (2 cạnh tương ứng) `-> D` nằm trên đường trung trực của `MN (2)`

Từ `(1)` và `(2)` 

`-> AD` là đường trung trực của `MN`

$\\$

$\\$
$b/$

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`AD` là đường cao

`-> AD` là đường trung tuyến

$\\$

Ta có : `DM = DE` (giả thiết)

mà `ND = DM`

`-> ND = DE (= DM)`

$\\$

Xét `ΔBDN` và `ΔCDE` có :

`hat{BDN} = hat{CDE}` (2 góc đối đỉnh)

`ND = DE` (chứng minh trên)

`BD = CD` (Vì `AD` là đường trung tuyến)

`-> ΔBDN = ΔCDE` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

`-> hat{BND} = hat{DEC}` (2 góc tương ứng)

mà `hat{BND} = 90^o`

`-> hat{DEC} = 90^o`

`-> CE⊥DE`

$\\$

$\\$

$d,$

Vì `AD` là đường trung tuyến

`-> BD =1/2 BC = 1/2 . 10 = 5cm`

Ta có : `DN = DM = 3cm` (chứng minh trên)

$\\$

Xét `ΔBND` vuông tại `N` có :

`BN^2 + DN^2 = BD^2`

`-> BN^2  = BD^2 - DN^2`

`-> BN^2 = 5^2 - 3^2 = 4^2`

`-> BN = 4cm`

mà `BN = CE`

`-> CE =4cm`