a) Xét ΔHBA và ΔABC có:

      `\hat{B}` - chung

      `\hat{BAH}`=`\hat{BAC}``=90^0`

`=>ΔHAB`$\backsim$`ΔABC` (g-g)

`->(HA)/(AB)=(BA)/(BC)` hay `HA.BC=AB.AC(đpcm)`

`->(AB)/(HB)=(BC)/(AB)` hay `AB^2=HB.HC(đpcm)`

Dễ dàng chứng minh được ΔABH$\backsim$ΔCAH

do: `\hat{AHB}`=`\hat{AHC}``=90^0`

     ``\hat{B}`=`\hat{HAC}` (`90^0-``\hat{BAH}`)

`->(AH)/(CH)=(BH)/(AH)->AH^2=BH.CH`

b)Áp dụng định lý Pi-ta-go vào ΔABC

`->``BC=√(3^2+4^2)=25`

Do `ΔHAB`$\backsim$`ΔABC`

`=>(AH)/(AC)=(AB)/(BC)`

`=>AH=(3.4)/5=2,4`

dO `ΔHAB`$\backsim$`ΔABC`

`->(BH)/(AB)=(AB)/(BC)->BH=(3^2)/5=1,8`

Từ đó`->CH=5-1,8=3,2`

c)Áp dụng t/c đg phân giác:

`=>(DA/AB)=(DC/BC)`

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhauP:

`(DA)/(AB)=(DC)/(BC)=(DA+DC)/(AB+BC)=4/8=1/2`

`=>DA=(3.1)/2=1,5`

Tương tự chứng minh ΔHAC$\backsim$ΔABC (g-g)

`=>AB/AC=HA/HC`

Mà `AB/AC=DA/DC` (T/c đg p/giac)

`=>(HA)/(HC)=(DA)/(DC)`

d)Ta có BE cũng là tia phân giac $\widehat{ABH}$

`=>AB/BH=AE/HE`

`=>AB.HE=AE.BH`

e)`(SΔHBA)/(SΔABC)=(1/2.BH.AH)/(1/2.AB.AC)=(1/2. 1,8 . 2,4)/(1/2 . 3.4)=(2,16)/6=9/25`

(Hoặc có thể chứng minh bình phương tỷ số `2` tam giác)