Giải thích các bước giải:

Bài 11:

a.Ta có $ID,IA$ là tiếp tuyến của $(O)\to IO$ là phân giác $\widehat{DIA}, IO\perp AD$

Tương tự $IO'$ là phân giác $\widehat{AIE}, IO'\perp AE$

Mà $\widehat{DIA}+\widehat{AIE}=180^o\to IO\perp IO'$

$\to IMAN$ là hình chữ nhật

b.Ta có $IA$ là tiếp tuyến chung tại $A$ của $(O), (O')$

$\to IA\perp OA, IA\perp O'A$

Mà $AM\perp IO, AN\perp IO'$

$\to IM.IO=IA^2=IN.IO'$

c.Từ câu a $\to MA\perp AN\to DA\perp AE$

$\to\Delta ADE$ vuông tại $A$

Mặt khác $ID,IA$ là tiếp tuyến của $(O)\to ID=IA$

Tương tự $IA=IE$

$\to ID=IE=IA$

$\to (I,IA)$ là đường tròn đường kính $DE$

Lại có $IA\perp OO'$ tại $A\to OO'$ là tiếp tuyến của $(I,IA)$

$\to OO'$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $DE$

d.Từ câu c

$\to DE=2IA$

Mà $\Delta IOO'$ vuông tại $I , IA\perp OO'$

$\to IA^2=OA.O'A=RR'$

$\to IA=\sqrt{RR'}$

$\to DE=2\sqrt{RR'}$

Bài 12:

a.Ta có $AM, BP$ là tiếp tuyến của $(O)$ có $AB$ là đường kính 

$\to AM\perp AB, BP\perp AB$

$\to AM//BP$

$\to \dfrac{OM}{OP}=\dfrac{OA}{OB}=1$

$\to OM=OP$

$\to O$ là trung điểm $MP$
Lại có $NO\perp MP\to \Delta NMP$ có đường cao đồng thời là trung tuyến

$\to \Delta MNP$ cân tại $N$

b.Ta có $\Delta MNP$ cân tại $N, NO\perp MP$

$\to NO$ là phân giác $\widehat{MNP}$

Mà $OI\perp NM, OB\perp NP$

$\to OI=OB=R$

$\to MN$ là tiếp tuyến của $(O)$

c.Xét $\Delta OAM,\Delta OBN$ có:

$\widehat{MAO}=\widehat{OBN}=90^o$

$\widehat{MOA}=180^o-\widehat{MON}-\widehat{NOB}=90^o-\widehat{NOB}=\widehat{ONB}$

$\to\Delta OAM\sim\Delta NBO(g.g)$

$\to \dfrac{OA}{NB}=\dfrac{AM}{OB}$

$\to AM.BN=OA.OB=R^2$

d.Ta có $AM\perp AB, BN\perp AB$

$\to ABMN$ là hình thang vuông tại $A,B$

$\to S_{ABNM}=\dfrac12AB(AM+BN)\ge \dfrac12AB\cdot2\sqrt{AM.BN}=AB.R=2R^2$

Dấu = xảy ra khi $AM=BN=R$

Bài 13:

a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AI\perp BI\to BI\perp AE$

Mà $BI$ là phân giác $\widehat{ABC}$

$\to BI$ là phân giác $\widehat{ABE}$

$\to\Delta ABE$ có đường cao vừa là phân giác

$\to\Delta ABE$ cân tại $B$

b.Ta có $BA$ là đường kính của $(O)\to AC\perp BC\to AC\perp BE$

Mà $BI\perp AE, AC\cap BI=K$

$\to K$ là trực tâm $\Delta EAB\to EK\perp AB$

c.Ta có $\Delta ABE$ cân tại $B, BI$ là phân giác góc $B\to I$ là trung điểm $AE$

Mà $F,K$ đối xứng qua $I\to I$ là trung điểm $FK$

$\to AKEF$ là hình bình hành

$\to AF//EK$

Mà $EK\perp AB\to FA\perp AB\to AF$ là tiếp tuyến của $(O)$

d.Từ câu a

$\to BE=BA=2R$ không đổi

$\to E$ di chuyển trên $(B,2R)$ không đổi khi $C$ di chuyển trên $(O)$