Giải thích các bước giải:

Bài 2:

Gọi thời gian để vòi $1,2$ chảy một mình đầy bể là $x,y, (x,y>0)$

$\to$Mỗi giờ vòi $1,2$ chảy được $\dfrac1x,\dfrac1y$ phần bể

Theo bài ra ta có:

$\begin{cases} 4(\dfrac1x+\dfrac1y)=1\\ y=6+x\end{cases}$

$\to \begin{cases} 4(\dfrac1x+\dfrac1{6+x})=1\\ y=6+x\end{cases}$

$\to \begin{cases} x=6\\ y=10\end{cases}$

Bài 4:

a.Ta có $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^o$

$\to AMHN$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

b.Từ câu a 

$\to \widehat{AMN}=\widehat{AHN}=90^o-\widehat{NHC}=\widehat{NCH}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{MAN}=\widehat{BAC}$

$\to\Delta AMN\sim\Delta ACB(g.g)$

c.Xét $\Delta QHM,\Delta QNH$ có:

Chung $\hat Q$

$\widehat{QHM}=\widehat{BHM}=90^o-\widehat{MHA}=\widehat{MAH}=\widehat{MNH}=\widehat{QNH}$

$\to\Delta QMH\sim\Delta QHN(g.g)$

$\to \dfrac{QM}{QH}=\dfrac{QH}{QN}$

$\to QH^2=QM.QN$

Lại có $\widehat{MQB}=\widehat{NQC}$

          $\widehat{QMB}=\widehat{QMN}=\widehat{AHN}=90^o-\widehat{NHC}=\widehat{NCH}=\widehat{NCQ}$

$\to\Delta QMB\sim\Delta QCN(g.g)$
$\to \dfrac{QM}{QC}=\dfrac{QB}{QN}$

$\to QM.QN=QB.QC$

$\to QH^2=QB.QC$

d.Gọi $AE$ là đường kính của $(O)\to ER\perp AR$

Ta có $QRA, QBC$ là cát tuyến tại $Q$ với $(O)$

$\to QB.QC=QR.QA$

$\to QR.QA=QH^2$

$\to \dfrac{QR}{QH}=\dfrac{QH}{QA}$

Mà $\widehat{RQH}=\widehat{AQH}$

$\to\Delta QRH\sim\Delta QHA(c.g.c)$

$\to \widehat{QRH}=\widehat{QHA}=90^o$

$\to HR\perp RA$

Do $ER\perp RA$

$\to R,H,E$ thẳng hàng

Kẻ $OK\perp BC, K\in RE$

$\to OK$ là trung trực của $BC\to KB=KC$

Ta có $\widehat{ARH}=\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^o$

$\to A,R,M,H,N\in$ đường tròn đường kính $ AH$

Gọi $D$ là trung điểm $AH$

$\to A,R,M,H,N\in (D, \dfrac12AH)$

Ta có $O,D$ là trung điểm $AE, AH$

$\to OD$ là đường trung bình $\Delta AHE$

$\to OD//HE$
Lại có $OK//DH(\perp BC)$

$\to ODHK$ là hình bình hành

$\to KH=OD=\dfrac12HE$

$\to E$ là trung điểm $HE$

$\to DK$ là đường trung bình $\Delta AHE\to DK//AE$

Kẻ $At$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$

$\to \widehat{tAB}=\widehat{ACB}=\widehat{AMN}$

$\to At//MN$

Mà $At\perp AO\to MN\perp OA$

$\to MN\perp AE$

$\to MN\perp DK$ vì $DK//AE$

Mà $A,R,M,H,N\in (D)$

$\to DK$ là trung trực của $MN$

Do $MNCB$ nội tiếp , $K\in $ trung trực $BC, MN$

$\to K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $MNCB$

$\to K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $MNB$

$\to K\equiv I$

Do $R,H,E, K$ thẳng hàng

$\to R,H,I$ thẳng hàng