Giải thích các bước giải:

Với $x = 0$, ta có

$P(0) = d$

Do $P(0)$ là số nguyên nên $d$ là số nguyên

Với $x = 1$, ta có

$P(1) = a + b + c + d$

$\Leftrightarrow a + b + c = P(1) - d$

Do $P(1)$ và $d$ là số nguyên nên $a + b + c$ là số nguyên

Ta có

$P(-1) = -a + b - c + d$

Suy ra

$P(1) + P(-1) = 2b + 2d$

$\Leftrightarrow 2b = P(1) + P(-1) - 2d$

Do $P(1), P(-1), 2d$ là các số nguyên nên $2b$ là số nguyên.

$P(2) = 8a + 4b + 2c + d$

$\Leftrightarrow P(2) = 6a + 2(a + b + c) + 2b + d$

$\Leftrightarrow 6a = P(2) - 2(a + b + c) - 2b - d$

Do $a + b + c$, $2b$, $d$ là các số nguyên nên $P(2) - 2(a + b + c) - 2b - d$ là số nguyên, suy ra $6a$ là số nguyên.

Với x=0x=0, ta có

P(0)=dP(0)=d

Do P(0)P(0) là số nguyên nên dd là số nguyên

Với x=1x=1, ta có

P(1)=a+b+c+dP(1)=a+b+c+d

⇔a+b+c=P(1)−d⇔a+b+c=P(1)−d

Do P(1)P(1) và dd là số nguyên nên a+b+ca+b+c là số nguyên

Ta có

P(−1)=−a+b−c+dP(−1)=−a+b−c+d

Suy ra

P(1)+P(−1)=2b+2dP(1)+P(−1)=2b+2d

⇔2b=P(1)+P(−1)−2d⇔2b=P(1)+P(−1)−2d

Do P(1),P(−1),2dP(1),P(−1),2d là các số nguyên nên 2b2b là số nguyên.

P(2)=8a+4b+2c+dP(2)=8a+4b+2c+d

⇔P(2)=6a+2(a+b+c)+2b+d⇔P(2)=6a+2(a+b+c)+2b+d

⇔6a=P(2)−2(a+b+c)−2b−d⇔6a=P(2)−2(a+b+c)−2b−d

Do a+b+ca+b+c, 2b2b, dd là các số nguyên nên P(2)−2(a+b+c)−2b−dP(2)−2(a+b+c)−2b−d là số nguyên, suy ra 6a6a là số nguyên.