Đáp án:

a) \(x = 2,32cm\)

b) \(1,2kg\)

Giải thích các bước giải:

a) Gọi x là chiều cao phần nổi của ống.

Khi ống cân bằng, ống chịu tác dụng của hai lực: lực đẩy Acsimet với trọng lượng của xăng và ống.

\({F_A} = \pi R_2^2\left( {h - x} \right).{D_0}.10\)

Trọng lượng của ống: 

\({P_1} = \pi \left( {R_2^2 - R_1^2} \right)h{D_1}.10\)

Trọng lượng của xăng trong ống.

\({P_2} = \pi R_1^2h{S_2}.10\)

Theo đề ta có:

\(\begin{array}{l}
{F_A} = {P_1} + {P_2}\\
 \Leftrightarrow \pi R_2^2\left( {h - x} \right).{D_0} = \pi \left( {R_2^2 - R_1^2} \right)h{D_1} + \pi R_1^2h{S_2}\\
 \Leftrightarrow x\pi R_2^2{D_0} = h\left( {\pi R_2^2{D_0} + \pi R_1^2{D_1} - \pi R_1^2{D_2} - \pi R_2^2{D_1}} \right)\\
 \Rightarrow x = h\left( {1 + \dfrac{{{D_1}}}{{{D_0}}}{{\left( {\dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}}} \right)}^2} - \dfrac{{{D_2}}}{{{D_0}}}{{\left( {\dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}}} \right)}^2} - \dfrac{{{D_1}}}{{{D_0}}}} \right)\\
 \Rightarrow x = h\left( {1 - \dfrac{{{D_1}}}{{{D_0}}} + \left( {\dfrac{{{D_1}}}{{{D_0}}} - \dfrac{{{D_2}}}{{{D_0}}}} \right){{\left( {\dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}}} \right)}^2}} \right)\\
 \Rightarrow x = 2,32cm
\end{array}\)

b) Khi thả ống vào nước (đã bóc đáy ), ống nổi.

Gọi chiều cao của phần nổi bây giờ là \({x_1}\).

\({F_A}' = \pi \left( {R_2^2 - R_1^2} \right)\left( {h - {x_1}} \right).{D_0}.10\)

Trọng lượng của ống:

\({P_1} = \pi \left( {R_2^2 - R_1^2} \right)h{D_1}.10\)

Theo đề ta có: Lực đẩy Acsimet = trọng lượng của ống.

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \pi \left( {R_2^2 - R_1^2} \right)\left( {h - {x_1}} \right).{D_0} = \pi \left( {R_2^2 - R_1^2} \right)h{D_1}\\
 \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{{D_0}h - {D_1}h}}{{{D_0}}} = h\left( {1 - \dfrac{{{D_1}}}{{{D_0}}}} \right) = 2cm
\end{array}\)

Lúc đổ xăng vào ống thì các lực theo phương thẳng đứng tác dụng lên ống không bị thay đổi, nên phần nổi của ống ở ngoài không khí vẫn là x₁ =2cm. xăng sẽ đẩy bớt nước ra khỏi ống.

Gọi x₂ là chiều cao của cột xăng trong ống.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{P_M} = {P_0} + \left( {h - {x_1}} \right){D_0}.10\\
{P_N} = {P_0} + {x_2}{D_2}.10 + \left( {h - {x_2}} \right).{D_0}.10
\end{array}\)

Áp suất tại 2 điểm M, N bằng nhau:

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {P_0} + \left( {h - {x_1}} \right){D_0}.10 = {P_0} + {x_2}{D_2}.10 + \left( {h - {x_2}} \right).{D_0}.10\\
 \Rightarrow {D_0}h - {D_0}{x_1} = \left( {{D_2} - {D_0}} \right){x_2} + {D_0}h\\
 \Rightarrow {x_2} = {x_1}\dfrac{{{D_0}}}{{{D_2} - {D_0}}} = h\dfrac{{{D_0} - {D_1}}}{{{D_0} - {D_2}}} = 8cm
\end{array}\)

Khối lượng xăng trong ống là:

\({m_x} = \pi R_1^2{x_2}{D_2} \approx 1,2kg\)