Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Định lý 1: Hàm số \(y = {x^n}(n \in \mathbb{N},n > 1\)) có đạo hàm với mọi \(x \in\mathbb{R}\) và: \({\left( {{x^n}} \right)'} = n{x^{n - 1}}.\)

Nhận xét: 

• (c)'=0 (với c là hằng số).
• (x)'=1.

Định lý 2: Hàm số \(y= \sqrt x\) có đạo hàm với mọi x dương và: \(\left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)

Định lý 3: Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

• \({\left( {u + v} \right)'} = {u'} + {v'}\)
• \({\left( {u - v} \right)'} = {u'} - {v'}\)
• \({\left( {u.v} \right)'} = {u'}.v + u.{v'}\)
• \(\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2},(v(x) \ne 0)\)

Mở rộng:

• \(({u_1} + {u_2} + ... + {u_n})' = {u_1}' + {u_2}' + ... + {u_n}'.\)

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: \((ku)'=ku'.\)

Hệ quả 2: \({\left( {\frac{1}{v}} \right)'} = - \frac{{ - v'}}{{{v^2}}}\) , \((v(x)\ne 0)\)

• \((u.v.{\rm{w}})' = u'.v.{\rm{w}} + u.v'.{\rm{w}} + u.v.{\rm{w}}'\)

Định lý: Cho hàm số \(y=f(u)\) với \(u=u(x)\) thì ta có: \(y'_u=y'_u.u'_x.\)

Hệ quả:

• \(({u^n}) = n.{u^{n - 1}}.u',n \in \mathbb{N}^*.\)
• \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}.\)

Ví dụ 1: 

a) Cho hàm số f(x)=x⁶. Tính f'(x) và f'(1).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt x\) tại x=9.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(f'(x) = 6{x^5},\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy: \(f'(1) = 6.\)

b) Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Tại x=9 ta có: \(f'(9) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}.\)

Ví dụ 2: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x.\)

b) \(y=(x^2+1)(3-2x^2).\)

c) \(y=(x^2+3)^5.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \left( {\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x} \right)' = {x^2} - 4x + 3.\)

b) \(y' = \left[ {({x^2} + 1)(3 - 2{x^2})} \right]' = ({x^2} + 1)'(3 - 2{x^2}) + ({x^2} + 1)(3 - 2{x^2})'\)

\(= 2x(3 - 2{x^2}) - 4x({x^2} + 1) = - 8{x^3} + 2x.\)

c) \(y' = \left[ {{{({x^2} + 3)}^5}} \right]' = 5{({x^2} + 3)^4}({x^2} + 3)' = 10x{({x^2} + 3)^4}.\)

Ví dụ 3: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{x}.\)

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\)

c) \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} - 2}}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{x}} \right)' = \left( {\frac{1}{4}x} \right)' + \left( {\frac{1}{x}} \right)' = \frac{1}{4} - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{4{x^2}}}.\)

b) \(y' = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)' = \frac{{(2x + 1)'(x + 1) - (2x + 1)(x + 1)'}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)

c) \(y' = \left( {\frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} - 2}}} \right)' = \frac{{( - {x^2} + 2x + 3)'({x^3} - 2) - ( - {x^2} + 2x + 3)({x^3} - 2)'}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}}\)

\(= \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)({x^3} - 2) - 3{x^2}( - {x^2} + 2x + 3)}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}} = \frac{{{x^4} - 4{x^3} - 9{x^2} + 4x - 4}}{{{{({x^3} - 2)}^2}}}.\)

Ví dụ 4: 

Tính đạo hàm của các hàm số sau: 

a) \(y = \frac{2}{x} + 5\sqrt x .\)

b) \(y = (x - 2)\sqrt {{x^2} + 1}\)

c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\) với a là hằng số.

Hướng dẫn giải:

a) \(y' = \left( {\frac{2}{x} + 5\sqrt x } \right)' = \left( {\frac{2}{x}} \right)' + \left( {5\sqrt x } \right)' = - \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{5}{{2\sqrt x }} = \frac{{5x\sqrt x - 4}}{{2{x^2}}}.\)

b) \(y = \left[ {(x - 2)\sqrt {{x^2} + 1} } \right]' = (x - 2)'\sqrt {{x^2} + 1} + (x - 2)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'\)

\(= \sqrt {{x^2} + 1} + \left( {x - 2} \right)\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{x(x - 2)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

c) \(y' = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right)' = \frac{{\left( x \right)'\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} - x.\frac{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{{a^2}}}{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}.\)

Bài 2 Quy tắc tính đạo hàm sẽ giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{7}{{{x^3}}} + \frac{6}{{{x^5}}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?

  • A. \(\frac{3}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^4}}} - \frac{7}{{{x^6}}} + \frac{6}{{{x^{10}}}}\)
  • B. \( - \frac{3}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^4}}} + \frac{7}{{{x^6}}} - \frac{6}{{{x^{10}}}}\)
  • C. \( - \frac{3}{{{x^2}}} - \frac{4}{{{x^3}}} + \frac{{21}}{{{x^4}}} - \frac{{30}}{{{x^6}}}\)
  • D. \(3 + \frac{1}{x} - \frac{7}{{3{x^2}}} + \frac{6}{{5{x^4}}}\)

• Câu 2:

   Đạo hàm của hàm số \(y = \left( {5 - 3x} \right)\left( {\frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} - 4} \right)\) bằng biểu thức nào dưới đây?

  • A. -3+x²+x
  • B.  -3(x²+x)
  • C.  -3-x²-x
  • D. \( - 4{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + 5x + 12\)

• Câu 3:

  Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{5 - 2x - 3{x^2}}}{{3x - 2}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?

  • A. \(\frac{{ - 2 - 6x}}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\)
  • B. \(\frac{{ - 2 - 6x}}{3}\)
  • C. \(\frac{{ - 9{x^2} + 12x - 11}}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\)
  • D. \(\frac{{ - 5 - 6x}}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}}\)

Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 5.38 trang 205 SBT Toán 11

Bài tập 5.39 trang 205 SBT Toán 11

Bài tập 16 trang 204 SGK Toán 11 NC

Bài tập 17 trang 204 SGK Toán 11 NC

Bài tập 18 trang 204 SGK Toán 11 NC

Bài tập 19 trang 204 SGK Toán 11 NC

Bài tập 20 trang 204 SGK Toán 11 NC

Bài tập 21 trang 204 SGK Toán 11 NC

Bài tập 22 trang 205 SGK Toán 11 NC

Bài tập 23 trang 205 SGK Toán 11 NC

Bài tập 24 trang 205 SGK Toán 11 NC

Bài tập 25 trang 205 SGK Toán 11 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HOCTAP247 sẽ sớm trả lời cho các em.