Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 75. Cho hàm số: \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Với \(m=2\) hàm số đã cho có dạng: \(y={x^4} - 3{x^2} + 3\)

Tập xác định: \(D=\mathbb R\)

\(\eqalign{
& y' = 4{x^3} - 6x \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr
x = - {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Hàm số đồng biến trên khoảng: \(\left( { - {{\sqrt 6 } \over 2};0} \right)\) và \(\left( {{{\sqrt 6 } \over 2}; + \infty } \right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng: \(\left( { - \infty ; - {{\sqrt 6 } \over 2}} \right)\) và \(\left( {0;{{\sqrt 6 } \over 2}} \right)\)

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\,\,y(0)=2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {{\sqrt 6 } \over 2}\) và \(x =  - {{\sqrt 6 } \over 2}\), \(y\left( { \pm {{\sqrt 6 } \over 2}} \right) =  - {1 \over 4}\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thi cắt tung độ tại điểm \((0;2)\)

Đồ thị cắt hoành độ tại 4 điểm: \(\left( { - \sqrt 2 ;0} \right),\left( { - 1;0} \right)\left( {1;0} \right),\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\)

Đồ thị hàm số là hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.

b) Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và trục là nghiệm phương trình 

\({x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr
{x^2} = m \hfill \cr} \right.\)

(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m>0 và \(m \ne 1\)

Khi đó (1) có 4 nghiệm: \(x =  - 1;\,x = 1;\,x =  - \sqrt m ;\,x = \sqrt m \)

* \( - \sqrt m  <  - 1 < 1 < \sqrt m \)

(C) cắt trục tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \(\sqrt m  - 1 = 1 - \left( { - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow m = 9\)

* \( - 1 <  - \sqrt m  < \sqrt m  < 1\)

(C) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \(1 - \sqrt m  = \sqrt m  - \left( { - \sqrt m } \right) = 2\sqrt m \)

Vậy m= 9 hoặc \(m = {1 \over 9}\)

Bạn có biết?

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK