Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có cạnh \(AB\) bằng \(a\). Các cạnh bên \(SA, SB, SC\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(D\) là giao điểm của \(SA\) với mặt phẳng qua \(BC\) và vuông góc với \(SA\).

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp \(S.DBC\) và \(S.ABC\).

b) Tính thể tích của khối chóp \(S.DBC\).

Hướng dẫn giải

Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Qua B kẻ \(BD \bot SA, CD \bot SA\), chứng minh mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA là \((BCD)\).

a) Sử dụng công thức tỉ số thể tích: \(\frac{{{V_{S.DBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SD}}{{SA}}.\frac{{SB}}{{SB}}.\frac{{SC}}{{SC}} = \frac{{SD}}{{SA}}\).

b) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) sau đó tính thể tích khối chóp \(S.DBC\).

Lời giải chi tiết

a)

Vì hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp đều nên chân đường cao \(H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy, theo giả thiết, ta có: góc \(SAH = 60^0\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) thì \(AM\) là đường cao của tam giác đều \(ABC\):

\(AM = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\(AH = {2 \over 3}.AM = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

\(SA = {{AH} \over {c{\rm{os}}{{60}^0}}}\) = \({{2a\sqrt 3 } \over 3}=SB\)

Xét tam giác vuông SBM ta có: \(SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}}  = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).

Qua B kẻ \(BD \bot SA\), khi đó ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AM\\
BC \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SA\\
\left\{ \begin{array}{l}
SA \bot BC\\
SA \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BCD} \right)
\end{array}\)

Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua BC và vuông góc với SA.

\(SA \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow SA \bot DM\)

Xét tam giác vuông ADM có: \(DM = AM.\sin 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\).

Xét tam giác vuông SDM có: \(SD = \sqrt {S{M^2} - D{M^2}}  = \frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}a\)

Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:

\({{{V_{S.DBC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} \over {SA}}.{{SB} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}:{{2a\sqrt 3 } \over 3} = {5 \over 8}\)

 b) Ta có: \(S_{ABC}\) = \({{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\);    \(SH = AH.tan60^0 = a\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.SH.{S_{ABC}}\) \( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

Từ kết quả câu a) ta có:

\({V_{S.DBC}} = {5 \over 8}.{V_{S.ABC}}\) \( \Rightarrow {V_{S.BDC}} = {5 \over 8}.{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

  \( \Rightarrow {V_{S.DBC}} = {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {96}}\)