Chuyên đề nguyên hàm và bài tập nguyên hàm có lời giải

Chuyên đề nguyên hàm và bài tập nguyên hàm có lời giải

Lý thuyết về Đại số và Giải tích vô cùng đa dạng, một trong những học phần được đánh giá rất quan trọng đó là kiến thức về Đạo hàm - Nguyên hàm - Vi phân. Trong buổi hộc hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tiếp cận đến khái niệm nguyên hàm và bộ công thức tính nguyên hàm chuẩn nhất thường được sử dụng trong chương trình học bậc THPT. Cùng nhau tìm hiểu nhé!

I. Định nghĩa

Nguyên hàm của một hàm số thực cho trước f là một hàm F có đạo hàm bằng f, nghĩa là, F′ = f. Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân bất định. Tìm một biểu thức cho nguyên hàm là công việc khó hơn so với việc tìm đạo hàm, và không phải luôn luôn thực hiện được.

Tuy nhiên, bất kỳ hàm số liên tục trên đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, thì đều tồn tại nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn/khoảng từ a đến b nêu trên.

Nguyên hàm được liên hệ với tích phân thông qua định lý cơ bản của giải tích, cung cấp một phương tiện tiện lợi để tính toán tích phân của nhiều hàm số.

II. Bảng nguyên hàm đầy đủ

1. Bảng nguyên hàm cơ bản

Tham khảo thêm: Các nguyên hàm thường gặp

2. Bảng công thức nguyên hàm lượng giác

Bao gồm các công thức về nguyên hàm của sinx, nguyên hàm của cosx, nguyên hàm của tanx, nguyên hàm của cotx,...

a) Dạng cơ bản

b) Dạng mở rộng

3. Công thức tính nguyên hàm từng phần

Công thức như sau: \( I=∫udv=uv−∫vdu\)

Ta thường sử dụng phương pháp có dạng \(∫f(x).g(x)dx\) trong đó f(x) và g(x) là hai trong bốn loại hàm sau đây: đa thức, lượng giác, mũ, logarit.

Thứ tự ưu tiên chọn u: Logarit → Đa thức → Lượng giác = Mũ.

Liên quan:

• Khái niệm đạo hàm
• Các quy tắc tính đạo hàm
• Đạo hàm các hàm số lượng giác
• Vi phân

4. Các công thức nguyên hàm Lnx và Logarit

Để xác định ta cần sử dụng linh hoạt cũng như lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau:

• Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.
• Phương pháp phân tích.
• Phương pháp đổi biến.
• Phương pháp nguyên hàm từng phần.

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit dựa trên các dạng nguyên hàm cơ bản.
Bằng các phép biến đổi đại số, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng nguyên hàm cơ bản đã biết.

Dạng 2: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit bằng phương pháp phân tích.
Chúng ta đã được làm quen với phương pháp phân tích để tính các xác định nguyên hàm nói chung. Chúng ta sử dụng phương pháp này để xác định nguyên hàm của các hàm số mũ và logarit. Cần hiểu rằng bản chất của nó là một dạng của phương pháp hệ số bất định, nhưng ở đây ta sẽ sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc.

Dạng 3: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit bằng phương pháp đổi biến.
Phương pháp được thực hiện như sau. Ta đổi biến được sử dụng cho các hàm số mũ và logarit với mục đích chủ đạo để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, tuy nhiên trong nhiều trường hợp khác nhau ta cần tiếp thu những kinh nghiệm nhỏ đã được trình bày bằng các chú ý.

Bài tập có lời giải:  Ôn tập chương III - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Toán lớp 12 Nâng cao.

Chúng tôi hy vọng rằng với những kiến thức về nguyên hàm nói trên sẽ cung cấp cho bạn một lượng kiến thức cần thiết để giải các bài tập liên quan cũng như làm tốt các bài thi. Với trang web học hiện đại bạn có hoàn toàn có thể học mọi lúc, mọi nơi và vô cùng dễ hiểu. Chúc các bạn có một buổi học vui vẻ!