Bài 6 trang 35 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn tâm \(I(1;-3)\), bán kính \(2\). Viết phương trình ảnh của đường tròn \((I;2)\) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(3\) và phép đối xứng qua trục \(Ox\)

Hướng dẫn giải

Phép vị tự tâm O tỉ số 3 biến đường tròn (I;R) thành (I';R') với \({V_{\left( {O;3} \right)}}\left( I \right) = I' \Rightarrow \overrightarrow {OI'}  = 3\overrightarrow {OI} \), \(R'=3R\)

Phép đối xứng trục Ox biến (I';R') thành đường tròn (I'';R'') với \({D_{Ox}}\left( {I'} \right) = I'' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I''}} = {x_{I'}}\\{y_{I''}} = - {y_{I'}}\end{array} \right.\) và \(R''=R'\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(I'\) là ảnh của \(I\) qua  phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(3\) ta có: 

\({V_{\left( {O;3} \right)}}\left( I \right) = I' \Rightarrow \overrightarrow {OI'} = 3\overrightarrow {OI} \) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{I'}} = 3{x_I} = 3\\
{y_{I'}} = 3{y_I} = - 9
\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {3; - 9} \right)\)

Vậy ảnh của đường tròn (I;2) qua phép vị tự tâm O tỉ số 3 biến thành đường tròn (I';6) với \(I'(3;-9)\).

Gọi \(I''\) là ảnh của \(I'\) qua  phép đối xứng trục \(Ox\) ta có:

\({D_{Ox}}\left( {I'} \right) = I'' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{I''}} = {x_{I'}} = 3\\
{y_{I''}} = - {y_{I'}} = 9
\end{array} \right.\)

Vậy ảnh của đường tròn (I';6) qua phép vị tự tâm O tỉ số 3 biến thành đường tròn (I'';6) với \(I'(3;9)\), có phương trình \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = 36\).