Bài 2 trang 141 (Hàm số liên tục) SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

a) Xét tính liên tục của hàm số \(y = g(x)\) tại \(x_0= 2\), biết 

\[g(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{x^{3}-8}{x- 2}; &x\neq 2 \\ 5;& x=2 \end{matrix}\right.\]

b) Trong biểu thức xác định \(g(x)\) ở trên, cần thay số \(5\) bởi số nào để hàm số liên tục tại \(x_0= 2\).

Hướng dẫn giải

Hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định \(D\) liên tục tại \({x_0 \in D}\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có :

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^3} - 8}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {2^2} + 2.2. + 4 = 12\\
g\left( 2 \right) = 5\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) \ne g\left( 2 \right)
\end{array}\)

Vì \(\underset{x\rightarrow 2}{\lim} g(x) ≠ g(2)\) nên hàm số \(y = g(x)\) gián đoạn tại \(x_0= 2\).

b) Để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \(x_0= 2\) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = 12 \Rightarrow \) ta cần thay số \(5\) bởi số \(12\).