Giới hạn của dãy số lớp 11 - Toán học

Bài viết này sẽ gửi đến bạn kiến thức giới hạn của dãy số lớp 11, cách bấm máy tính giới hạn của dãy số và cùng với những bài tập giới hạn của dãy số có lời giải. Cùng tìm hiểu ngay thôi!

I) KIẾN THỨC CHUNG

1) Dãy số có giới hạn 0

a) Định nghĩa

- Dãy số \((u_n)\) có giới hạn 0 nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

- Kí hiệu: \(lim_{u_n}=0\)

=> Tổng quát: \(lim_{u_n}=0\) nếu \(\left | u_n \right |\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

b) Tính chất

- \(lim_{u_n}=0 \Leftrightarrow lim\left | u_n \right |=0\)

- Dãy số không đổi \((u_n)\), với \(u_n=0\) có giới hạn là 0

- Dãy \((u_n)\) có giới hạn bằng 0 nếu \(u_n\) có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, chỉ cần n đủ lớn.

c) Định lí

- Định lý 1: Cho hai dãy \((u_n)\) và \((v_n)\)

                  Nếu \(\left | u_n \right |\leq v_n, \forall n\) và \(lim_{v_n}=0 \Rightarrow v_n=0\)

- Định lý 2: Nếu \(\left | q \right |< 1\Rightarrow lim\) \(q^n=0\). Người ta chứng minh được:

• \(lim \dfrac {1}{\sqrt{n}}=0\)
• \(lim \dfrac {1}{\sqrt[3]{n}}=0\)
• \(lim \dfrac {1}{\sqrt{n^k}}=0, \forall k\in\mathbb{N}\)
• Khi \(lim \dfrac {1}{n}=0\): \(lim \dfrac {n^k}{a^n}=0; \forall k\in\mathbb{N}^*, a>1\) cho trước

2) Dãy số có giới hạn

a) Định nghĩa

- Dãy số \((u_n)\) có giới hạn là số thực \(L\) nếu \(lim (u_n-L)=0\)

- Kí hiệu: \(lim u_n=L\)

- Dãy số có giới hạn là khi dãy số có giới là một số thực.

b) Tính chất

- Dãy số không đổi \((u_n)\) với \(u_n=c\), \(c\) là giới hạn

- \(lim u_n=L\)  khi và chỉ khi khoảng cách \(\left | u_n-L \right |\)trên trục số thực từ điểm \(u_n\) đến \(L\) trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được (đk: n đủ lớn).

Lưu ý: Giới hạn hữu hạn không phải dãy số nào cũng có.

c) Định lí

- Định lý 1: Giả sử \(lim u_n=L\), khi đó:

• \(lim \left | u_n \right | \)  và \(lim \sqrt[3]{u_n}= \sqrt[3]{L}\)
• Nếu \(u_n\geq 0, \forall n\Rightarrow L\geq 0\) và \(lim \sqrt{u_n}=\sqrt{L}\)

- Định lý 2: Giả sử \(lim u_n=L\), \(lim v_n=M\) và hằng số \(c\). Khi đó:

• \(lim(u_n+v_n)=L+M\)
• \(lim (u_n-v_n)=L-M\)
• \(lim (u_n.v_n)=L.M\)
• \(lim\dfrac {u_n}{v_n}=\dfrac {L}{M}(M\neq 0)\)
• \(lim (cu_n)=cL\)

d) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

- Cấp số nhân có công bội \(q\), với \(\left | q \right |< 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

- Công thức: \(S=u_1+u_1.q+u_1.q^2+...=\dfrac{u_1}{1-q}\)

3) Dãy số có giới hạn vô cực

a) Dãy số có giới hạn dương vô cực

- Định nghĩa: Dãy số \((u_n)\) có giới hạn \(+\infty \) nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.

- Kí hiệu: \(limu_n=+\infty \)

- Tính chất

•  \(lim \sqrt{u_n}=+\infty \)
• \(lim \sqrt[3]{u_n}=+\infty \)
• \(lim n^k=+\infty \), với một số nguyên dương \(k\) cho trước.
• Trường hợp đặc biệt: \(limn=+\infty \Rightarrow lim q^n=+\infty, q> 1\)

b) Dãy số có giới hạn âm vô cực

- Định nghĩa: Dãy số \((u_n)\) có giới hạn \(-\infty \) nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

- Kí hiệu: \(limu_n=-\infty \)

Nhận xét: 

• \(limu_n=-\infty \Leftrightarrow lim(-u_n)=+\infty \)
• Nếu \(lim\left | u_n \right |=+\infty \) thì \(\left | u_n \right |\) trở nên lớn bao nhiêu cũng được (điều kiện: n đủ lớn).

- Định lý: Nếu \(lim \left | u_n \right |=+\infty \) thì \(lim \dfrac {1}{u_n}=0\)

c) Các quy tắc tìm giới hạn vô cực

- Quy tắc 1: Nếu \(limu_n=\pm \infty \) và \(limv_n=\pm \infty \) thì \(lim(u_n;v_n)\) được cho trong bảng sau:

- Quy tắc 2:Nếu \(limu_n=\pm \infty \) và \(limv_n=L\neq 0\) thì \(lim(u_n;v_n)\) được cho trong bảng sau:

- Quy tắc 3: Nếu \(limv_n=L\neq 0\),  \(limv_n=0\) và \(v_n>0 \) hoặc \(v_n<0\) kể từ một số hạng nào đó trở đi thì \(lim \dfrac {u_n}{v_n}\) được cho trong bảng sau:

4) Mở rộng: Cách bấm máy tính giới hạn của dãy số

II) CÁC DẠNG TOÁN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1) Dạng 1: Tính giới hạn dãy số cho bởi công thức

Ví dụ: Tính  \(lim(n^3-2n+1)\)?

=> Lời giải: 

• Ta có: \(n^3-2n+1=n^3(1-\dfrac{2}{n^2}+ \dfrac{1}{n^3})\)
• Vì \(\left\{\begin{matrix}limn^3=+\infty & \\ lim(1-\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}) = 1>0 & \end{matrix}\right.\)
• Suy ra, theo quy tắc 2 thì  \(lim(n^3-2n+1) = +\infty\)

2) Dạng 2: Cho trước hệ thức truy hồi. Yêu cầu tính giới hạn của dãy số được cho bởi hệ thức đó.

Ví dụ: Dãy số \((u_n)\) được xác định bởi \(u_1=1, u_{n+1}=\dfrac {2(2u_n+1)}{u_n+3}, \forall n\geq 1\). Biết dãy số \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn của dãy số un.

=> Lời giải:

• Theo phương pháp quy nạp, ta chứng minh được \(u_n>0\forall n\)
• Đặt \(L=lim u_n, L\geq 0\)
• Ta có : \(limL=\dfrac{2(2L+1)}{L+3} \Rightarrow L^2-L-2=0\) \(\Rightarrow \) \(L=2 (tmđk)\) hoặc \(L=-1 (ktmđk)\)
• Thay \(L\) vào \(limu_n\), ta được \(limu_n=2\)

III) BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CÓ LỜI GIẢI

1) Bài tập lý thuyệt (Xem lại lý thuyết và trả lời)

Câu 1: Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng?

A. \(limq^n=+\infty \) nếu \(q>1\)

B. \(limq^n=+\infty \) nếu \(q<1\)

C.  \(limq^n=+\infty \) nếu \(\left | q \right |>1\)

D.   \(limq^n=+\infty \) nếu \(\left | q \right |<1\)

Câu 2: Đâu là khẳng định đúng?

A. \(limq^n=0\) nếu \(q>1\)

B. \(limq^n=0\) nếu \(q<1\)

C.  \(limq^n=0\) nếu \(\left | q \right |>1\)

D.   \(limq^n=0\) nếu \(\left | q \right |<1\)

Câu 3:  Hãy tìm mệnh đề sai dưới đây?

A. Nếu \(\left | q \right |<1\) thì \(limq^n=0\)

B. Nếu \(lim u_n=a, limv_n=b\) thì \(lim(u_n.v_n)=a.b\)

C. Với \(k\in\mathbb{N}\) thì \(lim \dfrac{1}{n^k}=0\)

D. Nếu \(limu_n=a>0, limv_n=+\infty \Rightarrow lim(u_n.v_n)=+\infty \)

2) Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Dãy \(u_n=\dfrac {1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}\). Tìm giới hạn của dãy số un?

A. \(\dfrac {1}{5}\) 

B. \(1\)

C. \(\dfrac{1}{2}\)

D. \(-1\)

=> Đáp án đúng: C

Câu 2: Tính  \(lim\dfrac{3^n-4.2^{n+1}-3}{3.2^n+4^n}\)?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(+\infty \)

D. \(-\infty \)

=> Đáp án đúng: A

Câu 3: Đâu là giới hạn bằng \(-1\)?

A. \(lim\dfrac{2n^2-3}{-2n^2-2n^2}\)

B. \(lim\dfrac{2n^2-3}{-2n^2-4}\)

C. \(lim\dfrac{2n^2-3}{-2n^2-2}\)

D. \(lim\dfrac{2n^2-3}{-2n^2-1}\)

=> Đáp án đúng: C

Câu 4: Tính giới hạn của \(L\). Biết \(L=lim(5n-n^3)\)

A. \(- \infty \)

B. \(-6\)

C. \(-4\)

D. \(+ \infty \)

=> Đáp án đúng: A

Câu 5: Tính  \(lim(3^4.2^{n+1}-5.3^n)\)?

A. \(\dfrac {\sqrt{2}}{3}\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \(-\infty \)

=> Đáp án đúng: D

Xem thêm >>> Giải bài tập giới hạn của dãy số lớp 11 - SGK

Trên đây là những kiến thức lý thuyết về giới hạn của dãy số lớp 11 và cách tìm giới hạn của dãy số bằng máy tính mà muốn gửi đến cho bạn học. Chúc các bạn học tập tốt <3