Bài 4 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Có bao nhiêu số chẵn có \(4\) chữ số được tạo thành từ các số \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\) sao cho:

a) Các chữ số có thể giống nhau

b) Các chữ số khác nhau.

Hướng dẫn giải

Sử dụng linh hoạt các quy tắc đếm.

Lời giải chi tiết

Tập hợp \(A = \left\{{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}\)

a) Gọi số có \(4\) chữ số tạo thành là \(\overline {abcd} \)

Ta có: \(\overline {abcd} \) chẵn nên:

Số 

\(\overline {abcd} \left\{ \matrix{
a,b,c,d \in A \hfill \cr
a \ne 0 \hfill \cr
d \in \left\{ {0,2,4,6} \right\} \hfill \cr} \right.\)

+) Có \(4\) cách để chọn \(d\)

+) \(a ≠ 0\) ⇒ có \(6\) cách chọn \(a\)

+) Có \(7\) cách chọn \(b\) và \(7\) cách chọn \(c\)

Vậy : \(4.6.7.7 = 1176\) số chẵn \(\overline {abcd} \) trong đó, các chữ số có thể giống nhau

b) Gọi \(\overline {abcd} \)  là số cần tìm 

Trường hợp 1: \(\overline {abc0} (d = 0)\)

Vì \(a, b, c\) đôi một khác nhau và khác \(d\) nên có \(A_6^3\) số \(\overline {abc0} \)

Vậy có \(A_6^3\) số \(\overline {abc0} \)

Trường hợp 2:  \(\overline {abcd} \) (với \(d ≠ 0\))

+) \(d ∈ \left\{{2, 4, 6}\right\}\) \(⇒\) có \(3\) cách chọn \(d\)

+) \(a ≠ 0, a ≠ d\) nên có \(5\) cách chọn \(a\)

+)  \(b ≠ a, b ≠ d\) nên có \(5\) cách chọn \(b\)

+) \(c ≠ a, b, d\) nên có \(4\) cách chọn \(c\)

\(⇒\) Có \(3. 5. 5. 4 = 300\) số  \(\overline {abcd} \) loại 2

Vậy có: \(A_6^3 + 300 = 420\) số  \(\overline {abcd} \) thỏa mãn yêu cầu của đề bài.