Nắm trọn bộ công thức nhị thức Newton lớp 11 và bài tập liên quan

Nắm trọn bộ công thức nhị thức Newton lớp 11 và bài tập liên quan

Bài học hôm nay, chúng ta cùng nhau tìm hiểu về chuyên đề nhị thức Newton và các vấn đề liên quan, thường gặp trong các bài kiểm tra và bài thi Toán. Cung cunghocvui khám phá nhé!

I. Công thức nhị thức Newton cơ bản

    1. Khai triển nhị thức Newton 

Công thức liên quan:

• Bài 4. Phép thử và biến cố

• Bài 5. Xác suất và biến cố

    2. Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton

Dạng tìm số hạng thứ k

Số hạng thứ k trong khai triển \((a+b)^n \ là \ C_n^{k}a^{n-(k-1)}b^{k-1}\).

Dạng tìm số hàng chứa \(x^m\):

Số hạng tổng quát trong khai triển (a+b)^n là \(C_n^ka^{n-k}b^k=M(k).x^{f(k)} (a,b \ chứa \ x)\)

Giải phương trình f(k) = m \(\rightarrow k_0\) số hạng cần tìm là \(C_n^{k_0}a^{n-k_o}b^{k_0}\) và hệ số của số hạng chứa \(x^m \ là \ M(k_o)\).   

III. Bài tập về nhị thức Newton trong đề thi đại học

• Loại 1: Tìm hệ số của \(x^k\) trong một khai triển hệ thức New ton

Ví dụ: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2007)

Tìm hệ số của \(x^{10}\) trong khai triển nhị thức \((2+x)^n\) biết rằng:

\(3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+3^{n-2}C_n^2-3^{n-3}C_n^3+...+(-1)^nC_n^n=2048\)

Giải:

Áp dụng nhị thức Newton ta có:

\(2^n=(3-1)^n=\Sigma ^n_{k=0}C_n^k 3^k(-1)^{n-k}\\ = 3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+3^{n-2}C_n^2-3^{n-3}C_n^3+...+(-1)^nC_n^n\)

Vì thế từ giả thiết có: \(2^n=2048 =2^{11}\Rightarrow n = 11\)

Lại áp dụng công thức nhị thức Newton  ta có:

\((2+x)^{11}=\Sigma _{k=o}^{11}C_{11}^k2^kx^{11-k} \ (1)\)

Từ (1) ta suy ra hệ số của \(x^{10}\) ứng với k = 1, và đó là số \(C_{11}^12^1=22\)

Nhận xét: ví dụ trên là một minh họa đầy đủ cho phương pháp giải mà chúng ta trình bày trong phần mở đầu.

• Loại 2: Tìm hệ số lớn nhất trong một khai triển nhị thức Newton

Phương pháp:

Bài toán có dạng sau. Trong một khai triển đa thức.

\(P(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\). Yêu cầu tìm hệ số \(a_o;a_1;...;a_n\).

Phương pháp giải loại toán này như sau:

- Xét bất phương trình \(a_k<a_{k+1}\) và nghiệm của nó thường có dạng \(k<k_o \ do \ k \ nguyên \ nên \ k=0,1,2,...,k_o-1\).

- Từ đó suy ra bất phương trình \(a_k\ge a_{k+1}\) có nghiệm dạng \(k\ge k_o\)

Đến đây ta có hai khả năng:

- Nếu \(a_k=a_{k+1}\Leftrightarrow k=k_0\)

Khi đó ta có: \(a_o<a_1<a_2<...<a_ {k_ o}= a_{k_o+1}>a_{k_o+2}>a_{k_o+3}>a_{n-1}>a_n\)

Lúc này có hai hệ nhận giá trị lớn nhất là \(a_{k_0} \ và \ a_{k_0+1}\).

- Nếu \(a_k=a_{k+1}\ vô \ nghiệm\)

Khi đó ta có: \(a_o<a_1<a_2<...<a_{k_0-1}<a_ {k_ o} <a_{k_o+1}>...>a_n\)

Lúc này có duy nhất hệ số  \(a_{k_0} \). nhận giá trị lớn nhất.

Ví dụ: Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2008. Đáp án max = 126720

Bạn còn cảm thấy dạng bài tập này khó không? Nếu còn thì tham khảo ngay Bài tập nhị thức New - ton nhé!

Chúc các bạn học tốt ^c^