Chứng minh rằng:
a) \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\);
b) \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\);
c) \(\sqrt{10}[{(1 + \sqrt{10})}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.
Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
a) Phân tích \({11^{10}} = {\left( {1 + 10} \right)^{10}}\).
b) Phân tích \({101^{100}} = {\left( {1 + 100} \right)^{100}}\).
c) Khai triển \({\left( {1 + \sqrt {10} } \right)^{100}}\) và \({\left( {1 - \sqrt {10} } \right)^{100}}\).
Lời giải chi tiết
a) \({11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 = (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}\)
\(+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1\)
\(= {\rm{ }}{10^2} + {\rm{ }}{C^2}_{10}{10^2} + \ldots + {\rm{ }}{C^9}_{10}{10^9} + {\rm{ }}{10^{10}}\)
Tổng sau cùng chia hết cho \(10^2=100\) suy ra \(11^{10} – 1\) chia hết cho \(100\).
b) Ta có
\({101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1\)
\(= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... + \)
\(C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1\)
\( = {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}\)
Tổng sau cùng chia hết cho \(100^2=10 000\) suy ra \(101^{100}– 1\) chia hết cho \(10 000\).
c) Ta có:
\({(1 + \sqrt {10} )^{100}} = 1 + C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} + ... \)
\(+ C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)
\({(1 - \sqrt {10} )^{100}} = 1 - C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... \)
\(- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}\)
\(\sqrt {10} \left[ {{{\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}^{100}} - {{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]\)=
\( 2\sqrt {10} .\left[ {C_{100}^1\sqrt {10} + C_{100}^3{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^3} + ..+ C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}}} \right]\)
\(= 2\left( {C_{100}^1.10 + C_{100}^3{{.10}^2} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{50}}} \right)\)
Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra \(\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]\) là một số nguyên.
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưLớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK