Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn lớp 9

Chuyên đề phương trình bậc hai một ẩn lớp 9

Cùng  tìm hiểu về những nội dung lý thuyết quan trọng và giải bài tập về cách giải phương trình bậc hai một ẩn!

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Là dạng phương trình cơ bản với một biến số và số mũ cho phương trình lớn nhất là bằng hai.

\(a{x^2} + bx + c=0\)

Để phương trình tồn tại ở dạng bậc hai thì yêu cầu điều kiện nhất quán là hệ số mũ hai phải khác 0:  a ≠ 0.

2. Các cách giải phương trình

Xét phương trình bậc hai một ẩn  \(a{x^2} + bx + c=0\) với \(a\ne 0\)

a) Nếu c =0, đây là trường hợp đặc biệt của dạng bậc hai một ẩn, khi đó ta tóm lược được dạng tổng quát như sau: \(a{x^2} + bx =0 ⇔ x(ax + b) = 0\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 0,{x_2} =  - \displaystyle{b \over a}.\)

b) Đối với hệ số đặc biệt khi b bằng 0 thì phương trình vẫn thuộc dạng bậc hai một ẩn, nhưng ngắn gọn hơn vì không có hệ số bậc nhất:  \(a{x^2} + c=0 ⇔ {x^2} =-\dfrac{c}{a}\)

Nếu a, c cùng dấu \(-\dfrac{c}{a} < 0\) phương trình vô nghiệm.

Nếu a, c trái dấu \( -\dfrac{c}{a} > 0\) phương trình có hai nghiệm \({x_1} = -\sqrt{-\dfrac{c}{a}},{x_2} =  \sqrt{-\dfrac{c}{a}}.\)

3. Phân dạng thường gặp

Dạng  1: Chứng minh dạng của bài toán là như thế nào?

Phương pháp:

Áp dụng lý thuyết tổng quát khi xác định lần lượt giá trị của a, b ,c xem tồn tại giữa chúng là bậc nhất hay bậc hai, trong trường hợp đã xác định được hệ số a tồn tại thì có thể đi đến kết luận luôn là phương trình bậc hai.

\(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\)

Dạng 2: Không dùng công thức tổng quát để xác định nghiệm, ta dùng phương pháp cộng đại số áp vào phương trình mẫu như sau:

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các cách sau:

Cách 1: Cân bằng hai bên của phương trình về dạng cùng bậc, ví dụ hai bên cùng về bậc 2 thì khi đó ta có thể cho ngẫu nhiên hai cơ số bằng nhau, phương trình ban đầu được tóm lược trở lại về dạng cơ bản để tìm x.

Cách 2: Biến đổi thành tích với vế phải bằng 0. Sau đó dùng phương pháp tích số cho từng thừa số bằng 0 để tìm ra giá trị của x.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính \(2x^2 + 5x = 0\) bằng cách đặt nhân tử chung để đưa nó về phương trình tích.

Lời giải:

Ta có: \(\eqalign{& 2{x^2} + 5x = 0 \Leftrightarrow x\left( {2x + 5} \right) = 0  \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr 2x + 5 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr x =\dfrac{-5}{2} \hfill \cr}  \right. \cr}  \)

Nghiệm là: \({x_1} = 0;\,\,{x_2} = \displaystyle {{ - 5} \over 2} \)

Bài 2: Hãy giải phương trình:

\(2{x^2} + 5x + 2 = 0\)

Hướng dẫn chung:

Giải phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a \ne 0):\)

+) Đổi dấu đồng thời chuyển vế số c

+) Thực hiện chia lần lượt từng bên của phương trình cho số a để triệt tiêu hệ số bậc hai về giá trị một.

+) Áp dụng công thức đã chứng minh như sau(1): \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\)

+) Áp dụng: \(x^2=a \Leftrightarrow x = \pm \sqrt a.\)

Lời giải:

Ta có:

\(2{x^2} + 5x + 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 5x =  - 2\) (chuyển 2 sang vế phải)

\(\Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{5}{ 2}x =  - 1\) (chia cả hai vế cho 2)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 2. x. \dfrac{5}{ 4} =  - 1 (tách \ \dfrac{5}{ 2}x =2. x. \dfrac{5}{ 4} )\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 2.x. \dfrac{5 }{4} + {\left(\dfrac{5}{4} \right)^2}=  - 1 + {\left(\dfrac{5}{4} \right)^2} (cộng \ cả \ hai \ vế \ với \ {\left(\dfrac{5}{4} \right)^2})\)

\(\Leftrightarrow {\left( x + \dfrac{5}{ 4} \right)^2} = -1+\dfrac{25}{16}\)

\(\Leftrightarrow {\left( x + \dfrac{5}{ 4} \right)^2} =\dfrac{9}{16}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x + \dfrac{5}{ 4} = \dfrac{3 }{4} \hfill \cr x + \dfrac{5 }{4} = - \dfrac{3}{4} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - \dfrac{1 }{2} \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Nghiệm: \(x= -\dfrac{1}{2} \ và \ x=-2.\)

Bài 3: Tìm nghiệm của các phương trình dưới đây

a) \({x^2} + 8x =  - 2;\)         \(b){x^2} + 2x = \dfrac{1}{3}.\)

Cách làm:

Sử dụng công thức đã chứng minh như sau: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\)

Lời giải:

a) Ta có:

\({x^2} + 8x =  - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.4  = - 2 (1)\)

Lần lượt thực hiện thêm số hạng \(4^2\) vào hai bên của phương trình ban đầu rồi thực hiện phép biến đổi ta suy ra:

\( x^2 + 2.x.4 +4^2 =  - 2 +4^2 \Leftrightarrow (x + 4)^2 = 14\)

b) Ta có:

\({x^2} + 2x = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.1  = \dfrac{1}{3} (2)\)

Lần lượt thực hiện thêm số hạng \(1^2\) vào hai bên của phương trình ban đầu rồi thực hiện phép biến đổi ta suy ra:

\(x^2+2.x.1+1^2=\dfrac{1}{3}+1^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2.x.1+1^2=\dfrac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow {(x + 1)^2} = \dfrac{4 }{3}.  \)

Bài 4: Giải phương trình?

a) \({x^2} - 8 = 0\)                    b) \(5{x^2} - 20 = 0 ; \)                  

c) \(0,4{x^2} + 1 = 0;\)             d) \(2{x^2} + \sqrt 2 x = 0;\)        

e) \( - 0.4{x^2} + 1,2x = 0.\)

Hướng dẫn chung:

a) b) c) Biến đổi phương trình để sử dụng: Với mọi \(a \ge 0,\) ta có: \(x^2=a \Leftrightarrow x= \pm \sqrt a .\)

d) e) Biến đổi tích số sau: \(a.b =0 \Leftrightarrow a=0 \ hoặc \ b=0. \)

Điều kiện tiên quyết: \(x^2 \ge 0.\)

Đáp án:

a) Ta có:

\({x^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 8 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 8 \Leftrightarrow x= \pm 2\sqrt 2 \).

Nghiệm: \(x= \pm 2 \sqrt 2.\)

b) Ta có:

\(5{x^2} - 20 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} = 20 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{20}{5} \)

\(\Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt 4 \Leftrightarrow x =\pm 2.\)

Suy ra nghiệm là: \(x= \pm 2.\)

c) Ta có:

\(0,4{x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow 0,4{x^2} =  - 1 \\\Leftrightarrow {x^2} = - \dfrac{1}{0,4}\Leftrightarrow {x^2} =  - 2,5 (vô \ lý \ vì \ x^2 \ge 0 \ với \ mọi \ x)\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 

d) Ta có: 

\(2{x^2} + \sqrt 2 x = 0 \Leftrightarrow x(2x + \sqrt 2 ) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr 2x + \sqrt 2=0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr  2x =- \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr  x =- \dfrac{\sqrt 2}{2} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình có hai nghiệm là: \(x = 0;\ x =   \dfrac{-\sqrt 2}{2}.\)

e) Ta có:

\( - 0,4{x^2} + 1,2x = 0 \Leftrightarrow  - 4{x^2} + 12x = 0\)

\(\Leftrightarrow  - 4x(x - 3) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ -4x = 0 \hfill \cr x - 3=0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr  x =3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình có hai  nghiệm là: \({x} = 0,\ {x} = 3 \)

Phương trình bậc hai một ẩn

Với những gì đã giúp các bạn giải quyết về giải phương trình bậc 2 một ẩn trên đây, hy vọng rằng sẽ giúp các bạn đạt được kết quả cao trong học tập đặc biệt là môn Toán học!