Toán lớp 11 Kết nối tri thức tập 2 trang 9

Giải Toán 11 Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực là tài liệu vô cùng hữu ích giúp các em học sinh lớp 11 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập trong SGK Toán 11 Kết nối tri thức với cuộc sống tập 2 trang 4→9.

Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 trang 9 được biên soạn đầy đủ, chi tiết trả lời các câu hỏi từ bài 6.1 đến 6.8 giúp các bạn có thêm nhiều nguồn ôn tập đối chiếu với kết quả mình đã làm. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 11 tập 2 Bài 18 Lũy thừa với số mũ thực Kết nối tri thức, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải Toán 11 Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Bài 6.1
Bài 6.2
Bài 6.3
Bài 6.4
Bài 6.5
Bài 6.6
Bài 6.7
Bài 6.8

Bài 6.1

Tính

a) $(\frac{1}{5})^{-2}$

b) $4^{\frac{3}{2}}$

c) $(\frac{1}{8}^{-\frac{2}{3}})$

d) $(\frac{1}{16})^{-0,75}$

Bài làm

a) $(\frac{1}{5})^{-2}=(\frac{1}{5})^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{5})^2} = \frac{1}{\frac{1}{25}} = 25$

b) $4^{\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8$

c) $(\frac{1}{8}^{-\frac{2}{3}})=(\frac{1}{8}^{-\frac{2}{3}}) = (\frac{8}{1})^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$

d) $(\frac{1}{16})^{-0,75}=(\frac{1}{16})^{-0.75} = (\frac{16}{1})^{0.75} = (\sqrt[4]{16})^{3} = 2^3 = 8$

Bài 6.2

Thực hiện phép tính:

a) $27^{\frac{2}{3}}+81^{-0,75}-25^{0,5}$

b) $4^{2-3\sqrt{7}}.8^{2\sqrt{7}}$

Bài làm

a) $27^{\frac{2}{3}}+81^{-0.75}-25^{0.5} = (\sqrt[3]{27})^2+\frac{1}{(81^{0.75})}-\sqrt{25} = 9+\frac{1}{\sqrt[4]{81}}-5 = 9+\frac{1}{3}-5 =\frac{19}{3}$

b) $4^{2-3\sqrt{7}}\cdot8^{2\sqrt{7}}=4^{2-3\sqrt{7}}\cdot(2^3)^{2\sqrt{7}}=4^{2-3\sqrt{7}}\cdot2^{6\sqrt{7}}=(2^2)^{2-3\sqrt{7}}\cdot2^{6\sqrt{7}}=2^{4-6\sqrt{7}+6\sqrt{7}}=16$

Bài 6.3

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{X^{5}Y^{-2}}{X^{3}Y} (X,Y\neq 0)$

b) $B=\frac{X^{2}Y^{-3}}{(X^{-1}Y^{4})^{-3}} (X,Y\neq 0)$

Bài làm

a) $A=\frac{X^{5}Y^{-2}}{X^{3}Y} = \frac{X^5}{X^3}\cdot\frac{1}{Y^{2-1}} = X^{5-3}Y^{-1}=X^2Y^{-1}$

b) $B=\frac{X^{2}Y^{-3}}{(X^{-1}Y^{4})^{-3}}=\frac{X^{2}Y^{-3}}{X^{3}Y^{-12}} = X^{2-3}Y^{-3-(-12)} = {\frac{1}{XY^9}}$

Bài 6.4

Cho x,y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thưc sau:

a) $A=\frac{\mathrm{x}^{\frac{1}{3}}\sqrt{\mathrm{y}}+\mathrm{y}\frac{1}{3}}{\sqrt[6]{\mathrm{x}}+\sqrt[6]{\mathrm{y}}}$

b) $B=(\frac{\mathrm{x}^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}})^{\sqrt{3}+1}. \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

Bài làm

a) $A=\frac{(\mathrm{x}^{\frac{1}{3}}\sqrt{\mathrm{y}}+\mathrm{y}\frac{1}{3})(\sqrt[6]{\mathrm{x}}-\sqrt[6]{\mathrm{y}})}{(\sqrt[6]{\mathrm{x}}+\sqrt[6]{\mathrm{y}})(\sqrt[6]{\mathrm{x}}-\sqrt[6]{\mathrm{y}})}$

$A=\frac{\mathrm{x}^{\frac{2}{6}}\mathrm{y}^{\frac{1}{2}}-\mathrm{x}^{\frac{1}{6}}\mathrm{y}^{\frac{1}{3}}+\mathrm{y}\frac{1}{3}\sqrt[6]{\mathrm{x}}-\mathrm{y}\frac{1}{3}\sqrt[6]{\mathrm{y}}}{\mathrm{x}^{\frac{1}{6}}+\mathrm{y}^{\frac{1}{6}}}$

$A=\frac{\mathrm{x}^{\frac{1}{6}}\mathrm{y}^{\frac{1}{2}}-\mathrm{x}^{\frac{1}{6}}\mathrm{y}^{\frac{1}{3}}+\mathrm{y}\frac{1}{3}\sqrt[6]{\mathrm{x}}-\mathrm{y}\frac{1}{3}\sqrt[6]{\mathrm{y}}}{1}$

$A={\mathrm{x}^{\frac{1}{6}}\mathrm{y}^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}(\sqrt[6]{\mathrm{y}}-\sqrt[6]{\mathrm{x}})}$

b) $B=(\frac{\mathrm{x}^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}})^{\sqrt{3}+1}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$B=(\frac{\mathrm{x}^{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}}{y^{\sqrt{3}-1}(\sqrt{3}+1)})\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$B=\frac{\mathrm{x}^{3}}{y^{\sqrt{3}+1}}\cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$

$B=\frac{\mathrm{x}^{3-\sqrt{3}-1}}{y^{\sqrt{3}+1-(-2)}}$

$B={\frac{\mathrm{x}^{2-\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}+3}}}$

Bài 6.5

Chứng minh rằng: $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2$

Bài làm

Ta có sử dụng công thức: $\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$

Với a = 4, b = 3, ta có:

$(\sqrt{\frac{4+\sqrt{4^2-3}}{2}} + \sqrt{\frac{4-\sqrt{4^2-3}}{2}}) -(\sqrt{\frac{4-\sqrt{4^2-3}}{2}} - \sqrt{\frac{4+\sqrt{4^2-3}}{2}})=\sqrt{3} + 1 - 1 + \sqrt{3}=\begin{aligned} 2\sqrt{3} \ &= 2 \cdot \sqrt{\frac{4}{3}} \ &= 2 \end{aligned}$

Bài 6.6

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:

a) $5^{6\sqrt{3}} và 5^{3\sqrt{6}}$

b) $\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{4}{3}} và \sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}$

Bài làm

a)Nếu x > y > 0 và a > 1 , thì $a^x>a^y$ .

Áp dụng bất đẳng thức này với $x=3\sqrt{2}$ , y = 1 , và a = 5 , ta được: $5^{3\sqrt{2}}> 5^{1}=5$

Vậy $5^{6\sqrt{3}} > 5^{3\sqrt{6}} .$

b) $\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{4}{3}} = \left ( 2^{-1} \right )^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$

Với $\sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}$ , ta có thể viết lại thành $2^{\frac{1}{2}}.2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{7}{6}} 2^{\frac{4}{3}} < 2^{\frac{7}{6}} .$

Vậy, $\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{4}{3}} < \sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}} .$

Bài 6.7

Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r ( được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:

A = P(1 + $\frac{r}{n}$ )^N

Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo ki hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Bài 6.8

Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức A = 19.2. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).