Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (C ) thuộc cung nhỏ (AB). Vẽ đường kính DE. Cho biết thêm rằng R = 1. Hãy cho biết giá trị lớn nhất của biểu thức Q = MA + MB + MC...
Câu hỏi :
Cho đường tròn (O;R )và một điểm (M ) bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (C ) thuộc cung nhỏ (AB). Vẽ đường kính DE. Cho biết thêm rằng R = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức Q = MA + MB + MC + MD là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
* Đáp án
D
* Hướng dẫn giải
.png)
Do DE là đường kính của (O;R) nên \( \widehat {DCE} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó CD⊥CE. Mặt khác theo giả thiết ta có CD⊥AB.
Do đó AB//CE.
Mặt khác các dây CE,AB là hai dây song song của (O)(O) chắn hai cung AC và BE nên cung AC bằng cung BE hay cùng AE bằng cung BC suy ra EA=BC.
Mặt khác \( \widehat {DAE} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó
\( M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = \left( {M{A^2} + M{D^2}} \right) + \left( {M{B^2} + M{C^2}} \right) = A{D^2} + B{C^2} = D{E^2} = 4{R^2} = 4.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho MA2,MB2 ta có
\( M{A^2} + M{B^2} \ge 2MA.MB \Rightarrow 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) \ge 2M{A^2} + 2M{B^2} \ge M{A^2} + M{B^2} + 2MA.MB = {\left( {MA + MB} \right)^2}.\)
Tương tự:
\( 2\left( {M{C^2} + M{D^2}} \right) \ge {\left( {MC + MD} \right)^2}.\)
Bằng cách tương tự trên ta chứng minh được
\( 2\left[ {{{\left( {MA + MB} \right)}^2} + {{\left( {MC + MD} \right)}^2}} \right] \ge {\left( {MA + MB + MC + MD} \right)^2}.\)
Từ đó ta suy ra
\( 4\left( {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}} \right) \ge {\left( {MA + MB + MC + MD} \right)^2}.\)
Vì vậy:
\( {\left( {MA + MB + MC + MD} \right)^2} \le 4.4 = {4^2} \Rightarrow MA + MB + MC + MD \le 4.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MA=MB=MC=MD. Khi đó M≡O.
Đáp án cần chọn là: D
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi vào lớp 10 năm 2021 môn Toán Trường THPT Đông Kinh
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 9
Lớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK