Cho tam giác ABC biết trực tâm H(1;1) và phương trình cạnh AB:5x - 2y + 6 = 0, phương trình cạnh AC:4x + 7y - 21 = 0. Phương trình cạnh BC là

* Hướng dẫn giải

Phương trình \(AB:5x - 2y + 6 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {5;\; - 2} \right)\).

Phương trình \(AC:4x + 7y - 21 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {4;\;7} \right)\).

Ta có \(BH \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BH}}} .\overrightarrow {{n_{AC}}} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BH}}} = \left( {7;\; - 4} \right)\).

Suy ra phương trình đường thẳng BH có \(\left\{ \begin{array}{l} {\rm{VTPT}}\;\overrightarrow {{n_{BH}}} = \left( {7;\; - 4} \right)\\ H\left( {1;\;1} \right) \in BH \end{array} \right.\).

\(BH:7\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 7x - 4y - 3 = 0\).

Ta có điểm B là giao điểm của hai đường thẳng AB và BH, suy ra tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} 5x - 2y + 6 = 0\\ 7x - 4y - 3 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 5\\ y = - \frac{{19}}{2} \end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 5;\; - \frac{{19}}{2}} \right)\)

Ta lại có \(CH \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {{n_{CH}}} .\overrightarrow {{n_{AB}}} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{CH}}} = \left( {2;\;5} \right)\).

Suy ra phương trình đường thẳng CH có \(\left\{ \begin{array}{l} {\rm{VTPT}}\;\overrightarrow {{n_{CH}}} = \left( {2;\;5} \right)\\ {\rm{ }}H\left( {1;\;1} \right) \in CH \end{array} \right.\).

\(CH:2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y - 7 = 0\).

Ta có điểm C là giao điểm của hai đường thẳng AC và CH, suy ra tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} 4x + 7y - 21 = 0\\ 2x + 5y - 7 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{28}}{3}\\ y = - \frac{7}{3} \end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\frac{{28}}{3};\; - \frac{7}{3}} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {\frac{{43}}{3};\;\frac{{43}}{6}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;\; - 2} \right)\).

Phương trình cạnh BC có \(\left\{ \begin{array}{l} {\rm{VTPT}}\;\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;\; - 2} \right)\\ C\left( {\frac{{28}}{3};\; - \frac{7}{3}} \right) \in BC \end{array} \right.\).

\(BC:x - \frac{{28}}{3} - 2\left( {y + \frac{7}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 14 = 0\).

Vậy BC: x - 2y - 14 = 0.