Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} .\) biết tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3

Câu hỏi :

1) Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3. Trên các cạnh BC, CA lần lượt lấy các điểm N, M sao cho \(BN = 1,{\rm{ }}CM = 2.\)a) Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} .\)

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

1) a) \(\overrightarrow {AN} {\rm{  =  }}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} {\rm{  =  }}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{  +  }}\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

b) Đặt \(AP = x,\left( {0 < x < 3} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {PM} {\rm{  =  }}\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {AM} {\rm{ }} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} {\rm{  -  }}\frac{x}{3}\overrightarrow {AB} \)

\(\begin{array}{l}
AN \bot {\rm{ }}PM \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {PM}  = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  - \frac{x}{3}\overrightarrow {AB} } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{{2x}}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{x}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ }} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AC} ^2}{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\
 \Leftrightarrow 1 - 2x - \frac{x}{2} + 1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{5}{\rm{ }}
\end{array}\)

Vậy \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{4}{{15}}.\)

2)

Do ABCD là hình thang cân nên ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn tâm O. Do \(AB = BC = CD \Rightarrow AC\) là đường phân giác trong góc \(\angle BAD\). Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC, khi đó E thuộc AD. Ta có \(BE \bot AC\) và BE qua B(1;1) nên phương trình BE: \(3x + y - 4 = 0\).

Gọi \(F = AC \cap BE \Rightarrow \) tọa độ F là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 3y - 3 = 0}\\
{3x + y - 4 = 0}
\end{array}} \right. \Rightarrow F\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right).\)

Do F là trung điểm của \(BE \Rightarrow E\left( {2; - 2} \right).\) Do \(M\left( { - 2; - 5} \right) \in AD \Rightarrow \) phương trình AD: \(3x - 4y - 14 = 0.\)

Do \(A = AD \cap AC \Rightarrow \) tọa độ A là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 3y - 3 = 0\\
3x - 4y - 14 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {6;1} \right).\)

Do \(D \in AD \Rightarrow D\left( {2 + 4t; - 2 + 3t} \right)\) và \(AD = 7 \Rightarrow {\left( {4t - 4} \right)^2} + {\left( {3t - 3} \right)^2} = 49 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{{12}}{5}\\
t = \frac{{ - 2}}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
D\left( {\frac{{58}}{5};\frac{{26}}{5}} \right)\\
D\left( {\frac{2}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)
\end{array} \right.\)

Do B, D nằm khác phía với đường thẳng AC nên kiểm tra vị trí tương đối của điểm B và hai điểm D ta có đáp số \(D\left( {\frac{2}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)\)

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 10

Lớp 10 - Năm thứ nhất ở cấp trung học phổ thông, năm đầu tiên nên có nhiều bạn bè mới đến từ những nơi xa hơn vì ngôi trường mới lại mỗi lúc lại xa nhà mình hơn. Được biết bên ngoài kia là một thế giới mới to và nhiều điều thú vị, một trang mới đang chò đợi chúng ta.

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK