Trục căn thức ở mẫu: Lý thuyết & Bài tập

Trục căn thức ở mẫu lớp 9 bao gồm đầy đủ công thức trục căn thức ở mẫu, công thức trục căn thức nâng cao, các dạng bài tập và phương pháp giải có đáp án kèm theo bài tập tự luyện.

Tài liệu được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được điểm số cao trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 môn Toán. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu Trục căn thức ở mẫu, mời các bạn cùng theo dõi.

1. Công thức trục căn thức ở mẫu

+) Với các biểu thức $A,B (B>0)$ , ta có: $\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}$

+) Với các biểu thức $A,B,C(A\geq 0, A\neq B^{2})$ , t a có:

$\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C(\sqrt{A}-B)}{A-B^{2}}$

$\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C(\sqrt{A}+B)}{A-B^{2}}$

+) Với các biểu thức $A,B,C(A\geq 0,B\geq 0,A\neq B)$ , t a có:

$\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B}$

$\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B}$

2. Công thức trục căn thức mở rộng

$\frac{T}{{\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}}} = \frac{{T\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} \mp \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)}}{{\left( {\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} \mp \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)}} = \frac{{T\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} \mp \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)}}{{a \pm b}}$

3. Ví dụ minh họa trục căn thức ở mẫu

Ví dụ 1: Trục các căn thức sau:

a. $\sqrt {\frac{{11}}{{12}}}$	b. $\sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{5}}$
c. $\sqrt {\frac{{5{x^2}}}{{64y}}}$ với x ≥ 0; y > 0	d. $- xy\sqrt {\frac{y}{x}}$ với x > 0, y ≥ 0

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt {\frac{{11}}{{12}}} = \frac{{\sqrt {11} }}{{\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt {11} .\sqrt {12} }}{{\sqrt {12} .\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt {11.12} }}{{{{\sqrt {12} }^2}}} = \frac{{\sqrt {132} }}{{12}}$

b. $\sqrt {\frac{{{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{5}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\left| {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }}$

c. $\sqrt {\frac{{5{x^2}}}{{64y}}} = \sqrt {\frac{{5{x^2}}}{{{8^2}y}}} = \frac{{\sqrt 5 .\sqrt {{x^2}} }}{{\sqrt {{8^2}} .\sqrt y }} = \frac{{\sqrt 5 .\left| x \right|}}{{\left| 8 \right|.\sqrt y }}$

Do x ≥ 0 $\Rightarrow \frac{{\sqrt 5 .\left| x \right|}}{{\left| 8 \right|.\sqrt y }} = \frac{{x\sqrt 5 }}{{8\sqrt y }}$

d. $- xy\sqrt {\frac{y}{x}} = - xy\frac{{\sqrt y }}{{\sqrt x }} = - xy.\frac{{\sqrt y .\sqrt x }}{{\sqrt x .\sqrt x }} = - xy.\frac{{\sqrt {xy} }}{{\sqrt {{x^2}} }} = - xy.\frac{{\sqrt {xy} }}{{\left| x \right|}} = - y\sqrt {xy}$

Ví dụ 2: Trục các căn thức sau:

a. $\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{3\sqrt 6 }}$	b. $\frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }}$
c. $\frac{{4 - \sqrt 3 }}{{5\sqrt 2 - 2\sqrt 5 }}$	d. $\frac{{x - y}}{{\sqrt x + \sqrt y }}$

Hướng dẫn giải

a. $\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\sqrt 6 }}{{3\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 6 - \sqrt {18} }}{{3.\sqrt {{6^2}} }} = \frac{{2\sqrt 6 - 3\sqrt 2 }}{{18}}$

b. $\frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} = \frac{{1.\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)}}{{\left( {\sqrt 4 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 4 } \right)}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 4 }}{{{{\sqrt 5 }^2} - {{\sqrt 4 }^2}}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 4 }}{{5 - 4}} = \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 4 }}{1} = \sqrt 5 - \sqrt 4$

c. $\frac{{4 - \sqrt 3 }}{{5\sqrt 2 - 2\sqrt 5 }}$

$= \frac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{\left( {5\sqrt 2 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}$

$= \frac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{{{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}}$

$\begin{matrix} = \dfrac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{50 - 20}} \hfill \\ = \dfrac{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)\left( {5\sqrt 2 + 2\sqrt 5 } \right)}}{{30}} \hfill \\ \end{matrix}$

d. Điều kiện xác định: $x \geqslant 0;y \geqslant 0;\sqrt x + \sqrt y > 0$

$\frac{{x - y}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \sqrt x - \sqrt y$

Hướng dẫn giải

$\begin{matrix} \sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} - \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }} \hfill \\ = \sqrt[3]{{3\sqrt 3 + 18 + 12\sqrt 3 + 8}} - \sqrt[3]{{8 - 12\sqrt 3 + 18 - 3\sqrt 3 }} \hfill \\ = \sqrt[3]{{\sqrt {{3^3}} + 3.3.2 + 3.4\sqrt 3 + {2^3}}} - \sqrt[3]{{{2^3} - 2.4\sqrt 3 + 3.3.2 - \sqrt {{3^3}} }} \hfill \\ = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}^3}}} - \sqrt[3]{{{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^3}}} \hfill \\ = \sqrt 3 + 2 - 2 + \sqrt 3 = 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

b) $\frac{26}{5-2\sqrt{3}}$

Lời giải:

a) $\frac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {10} - \sqrt 6 }}{2}$

b) $\frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)}} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{25 - 12}} = 2\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right) = 10 + 4\sqrt 3$

4. Bài tập tự luyện Trục căn thức ở mẫu

Bài 1: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

a. $\frac{{12}}{{5\sqrt 3 }}$	b. $\frac{3}{{2\sqrt 5 }}$	c. $\frac{2}{{\sqrt 2 }}$
d. $\sqrt {\frac{5}{7}}$	e. $\sqrt {\frac{7}{{20}}}$	f. $\sqrt {\frac{{11}}{{12}}}$

Bài 2: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

a. $\frac{{2 - \sqrt 3 }}{{3\sqrt 5 }}$	b. $\frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 7 }}$	c. $\frac{{\sqrt 5 - 1}}{{\sqrt 5 + 1}}$
d. $\frac{{2\sqrt {10} - 5}}{{4 - \sqrt {10} }}$	e. $\sqrt {\frac{7}{{20}}}$	f. $\sqrt {\frac{{11}}{{12}}}$
i. $\frac{{6\sqrt 2 - 7\sqrt 7 }}{{\sqrt 6 }}$	k. $\frac{{2\sqrt 6 + 6\sqrt 7 }}{{3\sqrt 3 }}$	l. $\frac{{2\sqrt {10} - 5}}{{4 - \sqrt {10} }}$
m. $\frac{{3\sqrt 2 - 6}}{{\sqrt 2 - 1}}$	n. $\frac{{5\sqrt 6 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 6 }}$	p. $\frac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }}$

Bài 3: Trục căn thức ở mẫu của các phân thức sau:

a. $\frac{{1 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}$ với $x > 0;x \ne 4$	b. $\frac{{x - y}}{{\sqrt x - \sqrt y }}$
c. $\frac{{x + \sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$ với x > 0; y > 0	d. $\frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}$ với x ≠ 2

Bài 4: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a. $\sqrt[3]{{6\sqrt 3 + 10}} + \sqrt[3]{{6\sqrt 3 - 10}}$	b. $\sqrt[3]{{45 + 29\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{45 - 29\sqrt 2 }}$
c. $\frac{1}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z}}}$

Bài 5: Thực hiện phép tính:

a. $\frac{1}{{3 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3 - \sqrt 2 }}$	b. $\frac{2}{{3\sqrt 2 - 4}} - \frac{2}{{3\sqrt 2 + 4}}$
e. $\frac{1}{{2 - \sqrt 3 + \sqrt 5 }}$	f. $\frac{a}{{2\sqrt a - 3\sqrt b }}$
c. $\frac{1}{{1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 }}$	d. $\frac{1}{{2 - \sqrt 3 + \sqrt 5 }}$

Bài 6: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) $\frac{{5\sqrt 3 - 3\sqrt 5 }}{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 5 }}$

b) $\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 + \sqrt a }}$ với a ≥ 0

Bài 7: Cho biểu thức $\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$ (với x ≥ 0; x ≠ 3). Trục căn thức ở mẫu của biểu thức A.

Bài 8:

a) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức: $\frac{4}{{\sqrt 3 }}$ và $\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}}$

b) Rút gọn: $B = \left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)$ (với a > 0 và a ≠ 1)

Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau với x ≥ 0:

a) $4\sqrt x - 5\sqrt x - \sqrt {25x} - 3\sqrt x - 5$

b) $\sqrt {16x} - 5\left( {\sqrt x - 2} \right) - \sqrt {49x} - 5$

Bài 10: Rút gọn biểu thức:

a) $\frac{2}{{x - 3}}\sqrt {\frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{4{y^4}}}}$ với x > 3 và y ≠ 0

b) $\frac{2}{{2x - 1}}\sqrt {5{x^2}\left( {1 - 4x + 4{x^2}} \right)}$ với x > 0,5

Bài 11: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt {\frac{1}{{540}}}$

b) $\sqrt {\frac{{11}}{{600}}}$

c) $\sqrt {\frac{5}{{50}}}$

d) $\sqrt {\frac{3}{{98}}}$

Bài 12: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) $\frac{5}{{2\sqrt 5 }}$

b) $\frac{{2\sqrt 2 + 2}}{{5\sqrt 2 }}$

c) $\frac{3}{{\sqrt {10} + \sqrt 7 }}$

Bài 13: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) $\frac{{5\sqrt 3 - 3\sqrt 5 }}{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 5 }}$

b) $\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 + \sqrt a }}$ với a ≥ 0

Bài 14: Cho biểu thức $\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$ (với x ≥ 0; x ≠ 3). Trục căn thức ở mẫu của biểu thức A.

Bài 15

a) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức: $\frac{4}{{\sqrt 3 }}$ và $\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}}$

b) Rút gọn: $B = \left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)$ (với a > 0 và a ≠ 1)