Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh lớp 9 tham khảo.

Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 đem đến cho các bạn hiểu thế nào là phương trình bậc 2, hệ thức Vi-ét, cách tính nhẩm và bài tập nhẩm nghiệm kèm theo. Qua đó giúp các bạn có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để giải nhanh các bài tập Toán 9. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

I. Định nghĩa phương trình bậc 2
II. Hệ thức Vi – ét
III. Cách tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2
IV. Bài tập nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2

I. Định nghĩa phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0. Với

x là ẩn số
a, b, c là các số đã biết sao cho: a ≠ 0
a, b, c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x (theo phương trình trên thì a là hệ số bậc hai, b là hệ số bậc một, c là hằng số hay số hạng tự do).

II. Hệ thức Vi – ét

- Cơ sở của việc nhẩm nghiệm chính là hệ thức Vi – ét, ta có:

Định lý Vi – ét thuận

Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0;\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}} \\ {{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}} \end{array}} \right.$

Định lý Vi – ét đảo

Nếu hai số u và v có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u + v = S} \\ {u.v = P} \end{array}} \right.$ thì u và v là các nghiệm của phương trình

${x^2} - Sx + P = 0$

III. Cách tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

Xuất phát từ định lý Vi-ét, chúng ta có các dạng toán tính nhẩm như sau:

Dạng 1: A = 1, B = Tổng, C = Tích

Nếu phương trình có dạng x² – (u+v)x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v.

Nếu phương trình có dạng x² + (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u và –v.

Tóm lại:

x² – (u+v)x + uv = 0 => x₁ = u, x₂ = v (1)
x² + (u+v)x + uv = 0 => x₁ = -u, x₂ = -v

Như vậy, với dạng này chúng ta cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số c thành tích và b thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, chúng ta nên nhẩm hệ số c trước rồi kết hợp với b để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng c và tổng bằng b.

Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau: Tích của hai nghiệm bằng c, mà tổng lại bằng b.

Ví dụ phương trình:

x² – 5x + 6 = 0

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2×3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.

x² – 7x + 10 = 0
Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2×5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 5.

Dạng 2: A + B + C = 0 và A – B + C = 0

x² – (u+v)x + uv = 0 => x₁ = u, x₂ = v (1)

Nếu thay v = 1 vào (1) thì chúng ta sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = -(u+1), c = u.
Nếu thay v = -1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a – b + c = 0, với a = 1, b = -(u-1), c = -u.

Do loại này đã quá quen thuộc và thường gặp, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào Dạng 1 và Dạng 3.

Dạng 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

Nếu u ≠ 0 và v = ¹/_uthì phương trình (1) có dạng:

$x^{2}-\left(u+\frac{1}{u}\right) x+u \cdot \frac{1}{u}=0 \Leftrightarrow u \cdot x^{2}-\left(u^{2}+1\right) x+u=0$

Khi đó: Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau x= u, x = ¹/_u.Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình:

2x² – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 2, x = ¹/₂
3x² – 10x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 3, x = ¹/₃

IV. Bài tập nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2

Bài 1: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a. x² – 4x + 4 = 0	b. ${x^2} - 7x - 2 = 0$
c. 2x² + 7x – 3 = 0.	d. $3{a^2} + 2a + 5 = 0$
e. ${x^2} - 5x + 6 = 0$	f. $2{x^2} - 3x + 1 = 0$
g. ${x^2} - 6x - 16 = 0$	h. ${x^2} - 24x + 70 = 0$
i. ${x^2} - \sqrt 3 x - 2 - \sqrt 6 = 0$	k. $3{x^2} + 5x + 61 = 0$
m. ${x^2} - 14x + 33 = 0$	n. ${x^2} - 14x + 30 = 0$
p. ${x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0$	q. ${x^2} - 10x + 21 = 0$
u. $3{x^2} - 19x - 22 = 0$	v. 2x² + 6x + 5 = 0

Bài 2: Nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a. $2{x^2} + 3x - 5 = 0$	b. $35{x^2} - 37x + 2 = 0$
c. $2{x^2} - x - 3 = 0$	d. $2{a^2} - \left( {2 + \sqrt 5 } \right)a + \sqrt 5 = 0$
e. ${b^2} - b - 2 = 0$	f. $4321{y^2} - 21y - 4300 = 0$
g. $2{x^2} + \left( {\sqrt 7 - 2} \right)x - \sqrt 7 = 0$	h. $7{x^2} + 500x - 507 = 0$
i. $2{x^2} - 5x + 2 = 0$	k. $2{x^2} - 5x + 2 = 0$

Bài 3: Nhẩm nghiệm các phương trình:

a. ${x^2} + 2003x - 2004 = 0$	b. ${x^2} - 3x - 10 = 0$
c. $\left( {1 + \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\sqrt 3 x + \sqrt 3 - 1 = 0$	d. $4{x^2} - 2\sqrt 3 x - 1 = 0$