Bài 1: Rút gọn biểu thức
a) (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 + x3)
b) (x + 4)(x2 - x + 7) - (x3 + 3x2 + 3x + 13) - 26
c) (a - b + 1)[a2 + b2 + ab - (a + 2b) + 1] - (a3 + 1)
Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích
a) (4x - 2)3 + 8
b) a6 - b6
c) (a + b)3 + (a - b)3
Bài 3: Cho x, y, a và b thỏa mãn các đẳng thức sau: x + y = a + b (1) và x2 + y2 = a2 + b2 (2)
Chứng minh rằng : x3 + y3 = a3 + b3
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 thì ta có đẳng thức a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
Bài 5: Cho các biến x, y thỏa mãn x+y =1. Hãy tính giá trị biểu thức sau: B = x3 + y3 + 3xy
4. Đáp án bài tập tổng hai lập phương
Bài 1
a) (x + 3)(x 2 - 3x + 9) - (54 + x 3 )
= (x+3)(x 2 - 3x + 3 2 ) - (54 + x 3 )
= (x 3 + 3 3 ) - (54 + x 3 )
= 3 3 - 54
= 27 - 54 = -27
b) (x + 4)(x2 - x + 7) - (x3 + 3x2 + 3x + 13) - 26
= ((x +1 ) + 3)[(x + 1)2 - 3(x + 1) + 32 ] - (x +1)3 - 26
= [(x + 1)3 + 33] - (x +1)3 - 26
= 33 - 26 = 27 - 26
=1
c) (a - b + 1)[a2 + b2 + ab - (a + 2b) + 1] - (a3 + 1)
= [a+(1 - b)][a2 - a(1 - b) + (1 - b)2 ] - (a3 + 1)
= [a3 + (1 - b)3] - (a3 + 1)
= (1 - b)3 - 1
Bài 2
a) (4x - 2)3 + 8 = (4x - 2)3 + 23
= [(4x - 2) + 2][(4x - 2)2 - 2(4x - 2)+ 22]
= 4x[(4x - 2)2 - 2(4x - 2)+ 4]
= 16x[(2x - 1)2 - 2x +2]
b) a6 - b6
= (a2)3 - (b2)3
= (a2 - b2 )(a4 - a2b2 + b4)
= (a - b)(a + b)(a4 - a2b2 + b4)
c) (a + b)3 + (a - b)3
= [(a + b) + (a - b)][(a + b)2 - (a + b)(a - b) + (a - b)2]
= 2a[(a2 + 2ab + b2) - (a2 - b2) + (a2 - 2ab +b2)]
= 2a( a2 + 3b2)
Bài 3
Ta có:
x + y = a + b ⇒ ( x + y)2 = (a + b)2
⇔ x2 + 2xy + y2 = a2 + 2ab + b2
Mà từ (2) ta có : x2 + y2 = a2 + b2 ⇒ 2xy = 2ab ⇔ xy = ab.
Bài 4
Ta có:
a3 + b3 + c3 - 3abc
= (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 - 3abc
= (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)((a + b)2 - c(a + b) + c2) -3ab(a + b + c)
= (a+b+c)( a2 + 2ab + b2 - (ac + bc) + c2 - 3ab)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)
Vậy suy ra : a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)
Mà theo giả thuyết : a + b +c = 0
Do đó : a3 + b3 + c3 = 3abc (điều phải chứng minh)
* Chú ý: đẳng thức a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) có thể xem như là một hằng đẳng thức đáng nhớ, thường được sử dụng để giải quyết các bài toán khó một cách hiệu quả. Trường hợp a + b + c = 0 là một trường hợp đặc biệt và đây cũng chính là điểm khai thác để có thể giải các bài toán phức tạp một cách dễ dàng.
Bài 5
Ta có :
x3 + y3 + 3xy
= (x + y)(x2 - xy + y2) + 3xy
= 1.(x2 - xy + y2 ) + 3xy
= x2 + 2xy + y2
= (x+y) 2
= 1
