Câu 1 (2,0 điểm).

Giải phương trình:

Câu 2 (2,0 điểm).

Cho x, y là các số thực thỏa mãn x² + y² - xy = 1. Chứng minh rằng:
a.
b.

Câu 3 (2,0 điểm).

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn: 3(xy + yz + xz) = 4xyz.

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Lấy điểm P trên cung không chứa C của đường tròn (O) (P khác A và B). Đường thẳng qua P vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại Q, R; đường thẳng qua P vuông góc với OB cắt các đường thẳng AB, BC theo thứ tự tại S, T.

1. Chứng minh rằng tam giác PQS cân.

2. Chứng minh rằng PQ² = QR.ST.

Câu 5 (1,0 điểm).

Hai bạn Vĩnh và Phúc được cho 2012 chiếc kẹo. Họ chia kẹo cho nhau theo quy tắc: luân phiên nhau, mỗi người ở một lần chỉ được lấy ít nhất là 1 chiếc kẹo và nhiều nhất là 4 chiếc kẹo. Vĩnh là người được lấy đầu tiên. Người nào lấy được chiếc kẹo cuối cùng thì người đó thắng cuộc. Hỏi ai là người có thể luôn thắng cuộc?

Download tài liệu để xem thêm chi tiết.