Bài 1.

Cho biểu thức: . Tính các giá trị sau: A = ?, A ≈ ?

Bài 2.

Cho phương trình: 2,354x² - 1,542x - 3,141 = 0. Gọi 2 nghiệm của phương trình là x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Hãy tính x₁, x₂ ≈ ? (với 9 chữ số thập phân)

Bài 3.

Cho dãy số u₁ = u₂ = 1; u_n = u_n-1 + u_n-2 (n ≥ 3).

a. Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên, luôn tồn tại ít nhất một cách biểu diễn α = α₁u₁ + α₂u₂ + ... + α_ku_k với k, α₁, α₂,..., α_k (*) là các số nguyên nào đó.

b. Hãy tìm một biểu diễn 2009 = β₁u₁ + β₂u₂ + ...+ β_mu_m sao cho β_i thuộc {0; 1} và m có giá trị bé nhất có thể.

Bài 4.

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S(n) là tổng các chữ số trong biểu diễn thập phân của n. Mỗi số nguyên dương nhận được từ n bằng cách xoá đi một số (ít nhất một chữ số) chữ số tận cùng của n gọi là một giản số của n. Gọi T(n) là tổng tất cả các giản số của n.

a. Hãy tìm một công thức biểu diễn mối liên hệ giữa n, S(n) và T(n). Chứng minh tóm tắt cho công thức đó.

b. Tìm tất cả các số n để T(n) = 217.

Bài 5.

Trong ΔABC trên cạnh AB lấy 2 điểm U, R; cạnh BC lấy 2 điểm Q, T; cạnh CA lấy 2 điểm S, Psao cho PQ // AB, SR // BC, TU // CA. Đoạn PQ cắt 2 đoạn SR, TU tương ứng tại 2 điểm X, Y; đoạn SR cắt đoạn TU tại điểm Z. Giả sử mỗi đoạn PQ, RS, TU đều chia ΔABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau và diện tích ΔXYZ bằng 1m². Kí hiệu s(ABC) là diện tích của ΔABC. Tính các giá trị s(ABC) = ?, s(ABC) ≈ ?

Bài 6.

Cho ABDE là hình chữ nhật thoả mãn tồn tại điểm C thuộc đoạn ED sao cho tam giác ABC đều. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính . Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABDE. Hãy tính giá trị của R.

Bài 7.

Hình chữ nhật HÒM có HO = 11 và OM = 5. Giả sử tồn tại tam giác ABC nhận H làm trực tâm, làm tâm đường tròn ngoại tiếp, M làm trung điểm BC và F là chân đường cao kẻ từ A. Hãy tính độ dài đoạn BC.

Bài 8.

a) Tìm số dư của phép chia 23456789012345678 cho 456789456.

b) Cho tập hợp có vô hạn phần tử: (các phần tử trong tập hợp được viết theo thứ tự tăng dần và được đánh số thứ tự từ 1). Tính giá trị phần tử thứ 2009 của A.

Bài 9.

Muốn có 1.000.000 (một triệu) đồng cả gốc lẫn lãi sau 15 tháng thì phải gửi ngân hàng mỗi tháng một số tiền bằng nhau là bao nhiêu nếu lãi suất là 0,6% tháng và tiền lãi của tháng trước được tính vào tiền gốc để tính lãi cho tháng sau?

Bài 10.

Cho 2009 điểm nằm trong mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Xét các đoạn thẳng có đầu mút thuộc 2009 điểm đã cho sao cho với 2 điểm bất kỳ A và B, tồn tại ít nhất một điểm C nối với A và B bằng hai trong số các đoạn thẳng đó. Gọi s là số bé nhất các đoạn thẳng thoả mãn yêu cầu trên, hãy tính s.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết.