Câu 1 (2,5 điểm).

a. Tìm giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa: .

b. Rút gọn biểu thức:.

c. Giải hệ phương trình:

Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình: x² – 2(m – 1)x + m – 5 = 0 (1), (x là ẩn, m là tham số).

a. Giải phương tình với m = 2.

b. Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m. Tìm m để biểu thức P = x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 (1,5 điểm).

Một xe máy đi từ A đến B. Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng đi từ A đến B với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h. Biết rằng ô tô và xe máy đến B cùng một lúc. Tính vận tốc của mỗi xe, với giả thiết quãng đường AB dài 200km.

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB, M là một điểm bất kì trên cung AC (M khác A và C). Đường thẳng BM cắt AC tại H. Kẻ HK vuông góc với AB (K thuộc AB).

a. Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh CA là tia phân giác của góc MCK.

c. Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân.

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho I là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC. Các đường thẳng AI, BI, CI tương ứng cắt các cạnh BC, CA, AB tại các điểm M, N, P. Tìm vị trí của điểm I sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.