Công thức tính diện tích tam giác: vuông, đều, cân

Công thức tính diện tích tam giác: vuông, đều, cân là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 8, lớp 9 và thường xuất hiện trong các bài thi vào lớp 10.

Cách tính diện tích tam giác dưới đây tổng hợp toàn bộ kiến thức về công thức tính các hình cơ bản kèm theo các dạng bài tập có đáp án và tự luyện. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về tính diện tích tam giác. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: Đường cao trong tam giác cân.

Công thức tính diện tích tam giác

I. Công thức tính diện tích tam giác
II. Các dạng bài tập về diện tích hình tam giác
III. Bài tập tự luyện diện tích tam giác

I. Công thức tính diện tích tam giác

1. Tính diện tích tam giác thường

Tam giác ABC có ba cạnh a, b, c, h_a là đường cao từ đỉnh A như hình vẽ:

a. Công thức chung

Diện tích tam giác bằng ½ tích của chiều cao hạ từ đỉnh với độ dài cạnh đối diện của đỉnh đó.

$S_{ABC} = \frac{1}{2}a.h_{a} = \frac{1}{2}b.h_{b} = \frac{1}{2}c.h_{c}$

Ví dụ:

Tính diện tích hình tam giác có độ dài đáy là 5m và chiều cao là 24dm.

Giải: Chiều cao 24dm = 2,4m

Diện tích tam giác là

$S=\frac{5\times2.4}{2}=6\ m^2$

Xem thêm: Công thức tính diện tích hình vuông

b. Tính diện tích tam giác khi biết một góc

Diện tích tam giác bằng ½ tích hai cạnh kề với sin của góc hợp bởi hai cạnh đó trong tam giác.

$S_{ABC} = \frac{1}{2}a.b.sin\hat{C} = \frac{1}{2}a.c.sin\hat{B} = \frac{1}{2}b.c.sin\hat{A}$

Ví dụ:

Tam giác ABC có cạnh BC = 7, cạnh AB = 5, góc B bằng 60 độ. Tính diện tích tam giác ABC?

c. Tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh bằng công thức Heron.

Sử dụng công thức Heron đã được chứng minh:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Với p là nửa chu vi tam giác:

$p = \frac{1}{2} (a + b + c)$

Có thể viết lại bằng công thức:

$S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)}$

Ví dụ:

Tính diện tích hình tam giác có độ dài cạnh AB = 8, AC = 7, CB = 9

Giải:

Nửa chu vi tam giác ABC là

$p=\frac{AB\ +\ AC\ +BC}{2}=\frac{8\ +\ 7\ +\ 9}{2}=12$

Áp dụng công thức hero ta có

$S\ =\ \sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}$

$=\sqrt{12\left(12-8\right)\left(12-7\right)\left(12-9\right)}$

$=12\sqrt{5}$

d. Tính diện tích bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R).

$S_{ABC} = \frac{abc}{4R}$

Cách khác:

$S_{ABC} = 2.R^{2}.sin\hat{A}.sin\hat{B}.sin\hat{C}$

Lưu ý: Cần phải chứng minh được R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC, độ dài các cạnh a = 6, b = 7, c = 5, R = 3 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Tính diện tích của tam giác ABC.

Giải:

$S=\frac{abc}{4R}=\ \frac{6\times7\times5}{4\times3\sqrt{2}}=\frac{210}{12\sqrt{2}}=\frac{35\sqrt{2}}{4}$

e. Tính diện tích bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (r).

$S_{ABC} = p.r$

p: Nửa chu vi tam giác.
r: Bán kính đường tròn nội tiếp.

Ví dụ: Tính diện tích tam giác ABC biết độ dài các cạnh AB = 20, AC = 21, BC = 15, r = 5 (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

Giải:

Nửa chu vi tam giác là:

$p=\frac{AB\ +\ AC\ +BC}{2}=\frac{20+21+15}{2}=28$

r= 5

Diện tích tam giác là:

$S=p\times r=28\times5=140$

2. Tính diện tích tam giác cân

Tam giác cân ABC có ba cạnh, a là độ dài cạnh đáy, b là độ dài hai cạnh bên, h_a là đường cao từ đỉnh A như hình vẽ:

Áp dụng công thức tính diện tích thường, ta có công thức tính diện tích tam giác cân:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}a.h_{a}$

3. Tính diện tích tam giác đều

Tam giác đều ABC có ba cạnh bằng nhau, a là độ dài các cạnh như hình vẽ:

Áp dụng định lý Heron để suy ra, ta có công thức tính diện tích tam giác đều:

$S_{ABC} = a^{2}\frac{\sqrt{3} }{4}$

Xem thêm: Công thức tính chu vi, diện tích tam giác

4. Tính diện tích tam giác vuông

Tam giác ABC vuông tại B, a, b là độ dài hai cạnh góc vuông:

Áp dụng công thức tính diện tích thường cho diện tích tam giác vuông với chiều cao là 1 trong 2 cạnh góc vuông và cạnh đáy là cạnh còn lại.

Công thức tính diện tích tam giác vuông:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}a.b$

5. Tính diện tích tam giác vuông cân

Tam giác ABC vuông cân tại A, a là độ dài hai cạnh góc vuông:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông cho diện tích tam giác vuông cân với chiều cao và cạnh đáy bằng nhau, ta có công thức:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}a^{2}$

II. Các dạng bài tập về diện tích hình tam giác

Dạng 1: Tính diện tích tam giác khi biết độ dài đáy và chiều cao

Ví dụ 1: Tính diện tích tam giác thường và tam giác vuông có:

a) Độ dài đáy bằng 32cm và chiều cao bằng 25cm.

b) Hai cạnh góc vuông có độ dài lần lượt là 3dm và 4dm.

Bài làm

a) Diện tích hình tam giác là:

32 x 25 : 2 = 400 (cm²)

b) Diện tích hình tam giác là:

3 x 4 : 2 = 6 (dm²)

Đáp số: a) 400cm²

b) 6dm²

Dạng 2: Tính độ dài đáy khi biết diện tích và chiều cao

+ Từ công thức tính diện tích, ta suy ra công thức tính độ dài đáy: a = S x 2 : h

Ví dụ 1: Tính độ dài cạnh đáy của hình tam giác có chiều cao bằng 80cm và diện tích bằng 4800cm².

Bài làm

Độ dài cạnh đáy của hình tam giác là:

4800 x 2 : 80 = 120 (cm)

Đáp số: 120cm

Ví dụ 2: Cho hình tam giác có diện tích 5/8m² chiều cao là 1/2 m. Tính độ dài cạnh đáy của tam giác đó?

Bài làm

Độ dài cạnh đáy của tam giác là:

$\frac{5}{8} \times 2:\frac{1}{2} = \frac{{20}}{8} = \frac{5}{2}$ (m)

Đáp số: 5/2m

Dạng 3: Tính chiều cao khi biết diện tích và độ dài đáy

+ Từ công thức tính diện tích, ta suy ra công thức tính chiều cao: h = S x 2 : a

Ví dụ 1: Tính chiều cao của hình tam giác có độ dài cạnh đáy bằng 50cm và diện tích bằng 1125cm².

Bài làm

Chiều cao của hình tam giác là:

1125 x 2 : 50 = 45 (cm)

Đáp số: 45cm

Dạng bài tập nâng cao

Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM (h.131). Hãy giải thích vì sao ta có đẳng thức:

AB.OM = OA.OB

Bài 17

Gợi ý đáp án:

Ta có cách tính diện tích tam giác AOB với đường cao OM và cạnh đáy AB:

$S = \dfrac{{OM.AB}}{2}$

Ta lại có cách tính diện tích tam giác AOB vuông với hai cạnh góc vuông OA, OB là

$S = \dfrac{{OA.OB}}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{{OM.AB}}{2} = \dfrac{{OA.OB}}{2}\,(=S)$

$\Rightarrow OM.AB = OA.OB.$

III. Bài tập tự luyện diện tích tam giác

Câu 1:

Tính diện tích hình tam giác có:

a) Độ dài đáy là 32cm và chiều cao là 22cm;

b) Độ dài đáy là 2,5 cm và chiều cao là 1,2cm;

Câu 2:

Tính diện tích hình tam giác có:

a) Độ dài đáy là 45cm và chiều cao là 2,4dm;

b) Độ dài đáy là 1,5 m và chiều cao là 10,2dm;

Câu 3:

Tính diện tích hình tam giác có:

a) Độ dài đáy là 3/4m và chiều cao là 1/2m;

b) Độ dài đáy là 4/5 m và chiều cao là 3,5 dm;

Câu 4:

Tính diện tích hình tam giác vuông có độ dài 2 cạnh góc vuông lần lượt là:

a) 35cm và 15 cm.

b) 3,5 m và 15 dm.

Câu 5:

Tính diện tích hình tam giác MDC. Biết hình chữ nhật ABCD có AB = 25 cm, BC = 16cm.

Câu 6:

Tính diện tích hình tam giác MDN. Biết hình vuông ABCD có cạnh 20cm và AM = MB , BN = NC.

Câu 6: Cho tam giác ABC có BC = 6cm. D ∈ AC thỏa mãn CD = 2AD, E ∈ BC. Đoạn thẳng DE chia tam giác ABC thành hai phần thỏa mãn diện tích hình tứ giác gấp 3 lần diện tích hình tam giác. Tính độ dài đoạn thẳng BE.

Câu 7: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 40cm². Gọi M là trung điểm của AC . Tính diện tích tam giác ABM?

Câu 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH = 6cm, diện tích tam giác ABC là 30 cm². Gọi M là trung điểm của BC. Tính diện tích tam giác ABM

Câu 9: Cho tam giác ABC có diện tích 150cm2. M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Nối MN. Tính diện tích tam giác CMN ?

Câu 10 Cho hình chữ nhật ABCD, F là một điểm bất kì trên cạnh AD, BF cắt CD kéo dài tại điểm E. Nối điểm A với điểm E. Tính diện tích tam giác AEF, biết AF = 3cm, BC = 5cm, AB = 7 cm ?

Câu 11: Cho tam giác ABC biết BM = MC; CN = 3 x NA (như hình vẽ) và diện tích tam giác AEN bằng 27 cm².Tính diện tích tam giác ABC ?

Câu 12: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 18cm2. Biết DA = 2 x DB ; EC = 3 x EA ; MC = MB. Tính tổng diện tích hai tam giác MDB và MCE ?