Công thức lượng giác và cách học thuộc

Công thức lượng giác là một trong những kiến thức cực kì quan trọng dành cho các bạn học sinh lớp 9, 10, 11 và lớp 12 tham khảo.

Bảng công thức lượng giác gồm các công thức cơ bản và các công thức biến đổi nâng cao, công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản và cách học thuộc bằng thơ. Đối với học sinh, việc học và nhớ Bảng công thức lượng giác là yếu tố cực kì quan trọng khi giải toán. Dưới đây là bảng công thức lượng giác cơ bản và nâng cao giúp em ôn tập cho các kỳ thi sắp tới.

Bảng công thức lượng giác

1. Công thức Lượng giác cơ bản
2. Công thức cộng
3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác
4. Công thức nhân
5. Công thức hạ bậc
6. Biến đổi tổng thành tích
7. Biến đổi tích thành tổng
8. Nghiệm phương trình lượng giác
9. Dấu của các giá trị lượng giác
10. Bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt
11. Công thức lượng giác bổ sung
12. Cách học thuộc Bảng công thức lượng giác bằng thơ, "thần chú"

1. Công thức Lượng giác cơ bản

$\tan x = \frac{sinx}{cosx}$	$cotx = \frac{cosx}{sinx}$
sin²x + cos²x = 1	tan x . cot x = 1
1 + tan² x = $\frac{1}{\cos^{2}x}$	1 + cot² x = $\frac{1}{\sin ^{2}x}$

Thơ nhớ hàm lượng giác cơ bản

Sin bình cộng cos bình thì phải bằng 1

Sin bình thì bằng tan bình trên tan bình cộng 1

Cos bình bằng một trên một cộng tan bình

Một trên sin bình bằng 1 cộng cot bình

Một trên cos bình bằng một cộng tan bình

Bắt được quả tan,

Sin nằm trên cos,

Cot cải lại,

Cos nằm trên sin.

Hoặc là:

Bắt được quả tan,

Sin nằm trên cos (tan x = sin x / cos x),

Cot dại dột,

Bị cos đè cho (cot x = cos x / sin x).

2. Công thức cộng

cos(a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b	cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b
sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a	sin(a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a
tan(a + b) = $\frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}$	tan(a - b) = $\frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}$

Cos cộng cos thì bằng hai cos cos

Cos trừ cos phải bằng trừ hai sin sin

Sin cộng sin thì bằng hai sin cos

Sin trừ sin bằng hai cos sin.

Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin nhớ nha dấu trừ

Tan tổng thì lấy tổng tan

Chia một trừ với tích tan, dễ mà.

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Góc đối nhau ( cos đối)	Góc bù nhau (sin bù)	Góc phụ nhau (Phụ chéo)	Góc hơn kém (Khác pi tan)
cos (-α) = cos α	sin (π - α) = sin α	sin (π/2 - α)= cos α	sin (π + α) = - sin α
sin (-α) = -sin α	cos (π - α) = - cos α	cos (π/2 - α) = sinα	cos (π + α) = - cosα
tan (-α) = - tan α	tan ( π - α) = - tan α	tan (π/2 - α) = cot α	tan (π + α) = tanα
cot (-α) = -cot α	cot (π - α) = – cot α	cot (π/2 - α) = tan α	cot (π + α) = cotα

Cung hơn kém π / 2

cos(π/2 + x) = - sinx
sin(π/2 + x) = cosx

Thơ nhớ cung đặc biệt

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan.

Cosin của 2 góc đối thì bằng nhau.

Sin của 2 góc bù nhau cũng bằng nhau.

Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia.

Tan góc này bằng Cot góc kia.

Tan của 2 góc hơn kém pi cũng bằng nhau.

4. Công thức nhân

a. Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a
tan2a = $\frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}$

Thơ:

Sin gấp đôi thì bằng 2 lần sin cos

Cos gấp đôi bằng bình cos trừ bình sin, bằng luôn hai cos bình trừ đi 1, cũng bằng một trừ hai sin bình mà thôi.

Tang gấp đôi, ta lấy 2 tang chia đi một trừ bình tang ra liền.

b. Công thức nhân ba

sin3a = 3sina - 4sin³a
cos3a = 4cos³a - 3cosa
tan3a = $\frac{{3\tan a - {{\tan }^3}a}}{{1 - 3{{\tan }^2}a}}$

Thơ:

Nhân 3 một gốc bất kỳ.

Sin thì ba bốn, Cos thì bốn ba.

Dấu trừ đặt giữa hai ta, lập phường thì bốn chỗ, thế là ra ngay.

5. Công thức hạ bậc

${\sin ^2}a = \frac{{1 - \cos 2a}}{2}$	${\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}$
${\sin ^3}a = \frac{{3\sin a - \sin 3a}}{4}$	${\cos ^3}a = \frac{{3\cos a + \cos 3a}}{4}$

6. Biến đổi tổng thành tích

$\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}$	$\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}$
$\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}$	$\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}$

Thơ nhớ:

Sin tổng lập tổng sin cô.

Cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng.

Tan tổng thì lập tổng hai tan.

Một trừ tan tích mẫu mang thương sầu.

Gặp hiệu ta chớ phải lo.

Đổi trừ thành cộng ghi sâu trong lòng.

7. Biến đổi tích thành tổng

$\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]$
$\sin a.\sin b = -\frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) - \cos \left( {a - b} \right)} \right]$
$\sin a.\cos b = - \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]$

Thơ:

Cos cos thì nữa cos cộng cộng cos trừ.

Sin sin thì trừ nữa cos cộng trừ cos trừ.

Sin cos thi nữa sin cộng cộng sin trừ.

8. Nghiệm phương trình lượng giác

Kiến thức cơ bản

Trường hợp đặc biệt

$\sin a = \sin b \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = b + k2\pi } \\ {a = \pi - b + k2\pi } \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cos a = \cos b \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = b + k2\pi } \\ {a = - b + k2\pi } \end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\tan a = \tan b \Leftrightarrow a = b + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cot a = \cot b \Leftrightarrow a = b + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\sin a = 0 \Leftrightarrow a = k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\sin a = 1 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\sin a = - 1 \Leftrightarrow a = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cos a = 0 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{2} + k\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cos a = 1 \Leftrightarrow a = k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cos a = - 1 \Leftrightarrow a = \pi + k2\pi ;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

9. Dấu của các giá trị lượng giác

10. Bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt

$\alpha$	$0$ $\left( {{0}^{0}} \right)$	$\frac{\pi }{6}$ $\left( {{30}^{0}} \right)$	$\frac{\pi }{4}$ $\left( {{45}^{0}} \right)$	$\frac{\pi }{3}$ $\left( {{60}^{0}} \right)$	$\frac{\pi }{2}$ $\left( {{90}^{0}} \right)$	$\frac{2\pi }{3}$ $\left( {{120}^{0}} \right)$	$\frac{3\pi }{4}$ $\left( {{135}^{0}} \right)$	$\frac{5\pi }{6}$ $\left( {{150}^{0}} \right)$	$\pi$ $\left( {{180}^{0}} \right)$	$\frac{3\pi }{2}$ $\left( {{270}^{0}} \right)$	$2\pi$ $\left( {{360}^{0}} \right)$
$\sin \alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	-1	0
$\cos \alpha$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	-1	0	1
$\tan \alpha$	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	\|\|	$-\sqrt{3}$	-1	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	0	\|\|	0
$\cot \alpha$	\|\|	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	0	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	-1	$-\sqrt{3}$	\|\|	0	\|\|

11. Công thức lượng giác bổ sung

$\sin a + \cos b = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)$
$\sin a - \cos b = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)$
tan a + cot a = $\frac{2}{{\sin 2a}}$
cot a - tan a = 2cot 2a
sin⁴a + cos⁴a = 1 - $\frac{1}{2}$ sin²2a = $\frac{1}{4}$ cos4a + $\frac{3}{4}$
sin⁶a + cos⁶a = 1 - $\frac{3}{4}$ sin²2a = $\frac{3}{8}$ cos4a + $\frac{5}{8}$

Biểu diễn công thức theo $t = \tan \frac{\alpha }{2}$

$\sin \alpha = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$
$\cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$

$\tan \alpha = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}$
$\cot \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{2t}}$

12. Cách học thuộc Bảng công thức lượng giác bằng thơ, "thần chú"

Công thức CỘNG trong lượng giác

Cos + cos = 2 cos cos

cos trừ cos = trừ 2 sin sin

Sin + sin = 2 sin cos

sin trừ sin = 2 cos sin.

Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).

Tan tổng thì lấy tổng tan

Chia một trừ với tích tan, dễ òm.

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bắt được quả tan

Sin nằm trên cos (tan@ = sin@:cos@)

Cot dại dột

Bị cos đè cho. (cot@ = cos@:sin@)

Cách 2:

Bắt được quả tan

Sin nằm trên cos

Cot cãi lại

Cos nằm trên sin!

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan

Cosin của 2 góc đối bằng nhau; sin của 2 góc bù nhau thì bằng nhau; phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tan góc này = cot góc kia; tan của 2 góc hơn kém pi thì bằng nhau.

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NHÂN BA

Nhân ba một góc bất kỳ,

sin thì ba bốn, cos thì bốn ba,

dấu trừ đặt giữa 2 ta, lập phương chỗ bốn,

… thế là

Công thức gấp đôi:

+ Sin gấp đôi = 2 sin cos

+ Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin

= trừ 1 + 2 lần bình cos

= + 1 trừ 2 lần bình sin

+Tang gấp đôi

Tan đôi ta lấy đôi tan (2 tan)

Chia 1 trừ lại bình tan, ra liền.

Cách nhớ công thức: tan(a + b)=(tana + tanb)/1 - tana.tanb

tan một tổng 2 tầng cao rộng

trên thượng tầng tan + tan tan

dưới hạ tầng số 1 ngang tàng

dám trừ một tích tan tan oai hùng

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Cos cos nửa cos(+) cộng cos(-)

Sin sin nửa cos(-) trừ cos (+)

Sin cos nửa sin(+) cộng sin(-)

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

sin tổng lập tổng sin cô

cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng

còn tan tử cộng đôi tan (hoặc là: tan tổng lập tổng 2 tan)

một trừ tan tích mẫu mang thương sầu

gặp hiệu ta chớ lo âu,

đổi trừ thành cộng ghi sâu vào lòng

Một phiên bản khác của câu Tan mình cộng với tan ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình… là

tanx cộng tany: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra 2 đứa con mình con ta

tanx trù tan y: tình mình hiệu với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình

CÔNG THỨC CHIA ĐÔI (tính theo t = tg(a/2))

Sin, cos mẫu giống nhau chả khác

Ai cũng là một cộng bình tê (1 + t²)

Sin thì tử có hai tê (2t),

cos thì tử có một trừ bình tê (1 - t²).

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Sao Đi Học (Sin = Đối / Huyền)

Cứ Khóc Hoài (Cos = Kề / Huyền)

Thôi Đừng Khóc (Tan = Đối / Kề)

Có Kẹo Đây (Cot = Kề/ Đối)

Sin: đi học (cạnh đối - cạnh huyền)

Cos: không hư (cạnh đối - cạnh huyền)

Tan: đoàn kết (cạnh đối - cạnh kề)

Cot: kết đoàn (cạnh kề - cạnh đối)

Tìm sin lấy đối chia huyền

Cos lấy cạnh kề, huyền chia nhau

Còn tan ta hãy tính sau

Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền

Cot cũng dễ ăn tiền

Kề trên, đối dưới chia liền là ra

Sin bù, cos đối, hơn kém pi tan, phụ chéo.

+ Sin bù: Sin(180-a) = sina

+ Cos đối: Cos(-a)=cosa

+ Hơn kém pi tang:

Tan (a + 180) = tan a

Cot (a + 180) = cot a

+ Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Công thức tổng quát hơn về việc hơn kém pi như sau:

Hơn kém bội 2 pi sin, cos

Tan, cot hơn kém bội pi.

Sin(a+k.2.180⁰) = sin a ; Cos(a + k.2.180⁰) = cos a

Tan (a + k180⁰)=tan a ; Cot(a + k180⁰)=cot a

* sin bình + cos bình = 1

* Sin bình = tan bình trên tan bình + 1.

* cos bình = 1 trên 1 + tan bình.

* Một trên cos bình = 1 + tan bình.

* Một trên sin bình = 1 + cot bình.

(Chú ý sin *; cos @ ; tan @ ;cot * với các dấu * và @ là chúng có liên quan nhau trong CT trên)

Học công thức lượng giác “thần chú”

• Sin = đối/ huyền

Co s= kề/ huyền

Tan = đối/ kề

Cot = kề/ huyền

* Thần chú: Sin đi học, Cos không hư, tan đoàn kết, cot kết đoàn

Hoặc: Sao đi học, cứ khóc hoài, thôi đừng khóc, có kẹo đây!

• Công thức cộng:

Cos(x ± y)= cosx. cosy $\mp$ sinx . siny

Sin(x ± y)= sinxcosy ± cosxsiny

* Thần chú: Cos thì cos cos sin sin

Sin thì sin cos cos sin rõ ràng

Cos thì đổi dấu hỡi nàng

Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho!

* Thần chú: Tan một tổng hai tầng cao rộng

Trên thượng tầng tan cộng cùng tan

Hạ tầng số 1 ngang tàng

Dám trừ đi cả tan tan oai hùng

Hoặc: Tan tổng thì lấy tổng tan

Chia một trừ với tích tan, dễ òm.

• Công thức biến đổi tổng thành tích:

Ví dụ: cosx + cosy= 2cos cos

(Tương tự những công thức như vậy)

* Thần chú: cos cộng cos bằng 2 cos cos

Cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin

Sin cộng sin bằng 2 sin sin

Sin trừ sin bằng 2 cos sin.

* Tan ta cộng với tan mình bằng sin hai đứa trên cos mình cos ta.

Công thức biến đổi tích thành tổng:

Ví dụ: cosx.cosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)] (Tương tự những công thức như vậy)

* Thần chú: Cos cos nửa cos(+) cộng cos(-)

Sin sin nửa cos(-) trừ cos(+)

Sin cos nửa sin(+) cộng sin(-)

...................

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Góc phần tư số	I	II	III	IV
Giá trị lượng giác	I	II	III	IV
sin x	+	+	-	-
cos x	+	-	-	+
tan x	+	-	+	-
cot x	+	-	+	-

Công thức lượng giác và cách học thuộc

Bảng công thức lượng giác cần nhớ

Các công thức lượng giác

Bảng công thức lượng giác

1. Công thức Lượng giác cơ bản

2. Công thức cộng

3. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

4. Công thức nhân

5. Công thức hạ bậc

6. Biến đổi tổng thành tích

7. Biến đổi tích thành tổng

8. Nghiệm phương trình lượng giác

9. Dấu của các giá trị lượng giác

10. Bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt

11. Công thức lượng giác bổ sung

12. Cách học thuộc Bảng công thức lượng giác bằng thơ, "thần chú"

Liên kết tải về

Chủ đề liên quan

Học tập

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Chia sẻ

Có thể bạn quan tâm

Được tải nhiều nhất

Bài viết mới nhất