500 bài tập bất đẳng thức

500 bài toán bất đẳng thức tổng hợp 500 bài tập chọn lọc bao gồm nhiều dạng bài khác nhau về bất đẳng thức. Thông qua bài tập về bất đẳng thức giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng giải đề với các bài tập cơ bản để đạt được điểm số cao trong kì thi vào lớp 10 môn Toán.

Ngoài ra các bạn tham khảo thêm tài liệu: Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, các dạng bài tập về căn bậc 2. Vậy sau đây là 500 bài tập bất đẳng thức hay nhất, mời các bạn cùng đón đọc nhé.

500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc

1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}} \geq \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

2. [ Dinu Serbănescu ] Cho $a, b, c \in(0,1)$ . Chứng minh rằng

$\sqrt{a b c}+\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}<1 .$

3. [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c=1. Chứng minh rằng

$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$

Gazeta Matematică

4. Nếu phương trình $x^{4}+a x^{3}+2 x^{2}+b x+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực, thì $a^{2}+b^{2} \geq 8 .$

Tournament of the Towns, 1993

5. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z .$

6. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Chứng minh rằng

$a x+b y+c z+2 \sqrt{(x y+y z+z x)(a b+b c+c a)} \leq a+b+c$

7. [ Darij Grinberg] Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}} \geq \frac{9}{4(a+b+c)} .$

8. [ Hojoo Lee ] Cho $a, b, c \geq 0$ . Chứng minh rằng

$\sqrt{a^{4}+a^{2} b^{2}+b^{4}}+\sqrt{b^{4}+b^{2} c^{2}+c^{4}}+\sqrt{c^{4}+c^{2} a^{2}+a^{4}} \geq a \sqrt{2 a^{2}+b c}+b \sqrt{2 b^{2}+c a}+c \sqrt{2 c^{2}+a b}$

Gazeta Matematică

9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c=2. Chứng minh rằng

$a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a \sqrt{b+c}+b \sqrt{c+a}+c \sqrt{a+b} .$

JBMO 2002 Shortlist

10. [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\frac{x y z}{(1+3 x)(x+8 y)(y+9 z)(z+6)} \leq \frac{1}{7^{4}} .$

11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=1. Chứng minh rằng

$5\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \leq 6\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)+1$

12. [ Mircea Lascu ] Cho $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}, n \geq 2, a>0$ sao cho

$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=a, x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2} \leq \frac{a^{2}}{n-1}$

Chứng minh rằng

$x_{i} \in\left[0, \frac{2 a}{n}\right], i=1,2, \ldots, n .$

13. [ Adrian Zahariuc ] Cho $a, b, c \in(0,1)$ . Chứng minh rằng

$\frac{b \sqrt{a}}{4 b \sqrt{c}-c \sqrt{a}}+\frac{c \sqrt{b}}{4 c \sqrt{a}-a \sqrt{b}}+\frac{a \sqrt{c}}{4 a \sqrt{b}-b \sqrt{c}} \geq 1 .$

14. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a b c \leq 1$ . Chứng minh rằng

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq a+b+c .$

15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+x \geq b+y \geq c+z, a+b+c=x+y+z$ . Chứng minh rằng