## Giải chi tiết:

**a) Chứng minh $\triangle ABH \sim \triangle CBA$:**

Ta có:

* $\widehat{BAH} = \widehat{BCA}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$)

* $\widehat{AHB} = \widehat{CAB} = 90^\circ$

Vậy $\triangle ABH \sim \triangle CBA$ (g.g)

**b) Tính AD, DC:**

Áp dụng định lý Pytago cho $\triangle ABC$, ta có:

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ (cm)

Vì BD là phân giác của $\widehat{ABC}$ nên:

$\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{AD}{3} = \frac{DC}{5} = \frac{AD + DC}{3 + 5} = \frac{AC}{8}$

Suy ra:

* $AD = \frac{3}{8} AC = \frac{3}{8} \cdot 8 = 3$ (cm)

* $DC = \frac{5}{8} AC = \frac{5}{8} \cdot 8 = 5$ (cm)

**c) Tính diện tích $\triangle ABHI$:**

Ta có:

* $S_{\triangle ABH} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot AH = 3AH$

* $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ (cm$^2$)

Vì $\triangle ABH \sim \triangle CBA$ nên:

$\frac{S_{\triangle ABH}}{S_{\triangle CBA}} = \left( \frac{AB}{BC} \right)^2 = \left( \frac{6}{10} \right)^2 = \frac{9}{25}$

Suy ra: $S_{\triangle ABH} = \frac{9}{25} \cdot S_{\triangle CBA} = \frac{9}{25} \cdot 24 = \frac{216}{25}$ (cm$^2$)

Vậy $S_{\triangle ABHI} = S_{\triangle ABH} - S_{\triangle AHI} = \frac{216}{25} - \frac{1}{2} \cdot AH \cdot HI = \frac{216}{25} - \frac{1}{2} \cdot AH \cdot \frac{1}{2} \cdot AD = \frac{216}{25} - \frac{1}{4} \cdot AH \cdot AD$

**Kết luận:**

a) $\triangle AB