Đáp án:

a. `F_C = 2,25.10^-4(N)`

b. `x = 1,5\sqrt2 (cm)` để `E_M` cực đại

`E_{Mmax} \approx 76980,036 (\text{V/m})`

Giải thích các bước giải:

a. Vì `B` là trung điểm `AC` nên `AB = BC`
Ta có: `OB = OA + AB = OC - BC`
`<=> 2OB = OA+AB + OC - BC`
`<=> 2OB = OA+OC + AB - AB`
`<=> OB = {OA}/2 + {OC}/2`
`<=> r_B = r_A/2 + r_C/2`
Ta có: `F = {k|qQ|}/{\epsilonr^2}`
`<=> r = \sqrt{{k|qQ|}/{F\epsilon}}`
`=> r` tỉ lệ thuận `1/\sqrtF`
Mà `r_B = r_A/2 + r_C/2`
`=> 1/\sqrt{F_2} = 1/{2\sqrt{F_1}} + 1/{2\sqrt{F_C}}`
`<=> 1/{2\sqrt{F_C}} = 1/\sqrt{F_2} - 1/{2\sqrt{F_1}}`
`<=> 2\sqrt{F_C} = {2\sqrt{F_1F_2}}/{2\sqrt{F_1} - \sqrt{F_2}}`
`=> F_C = 1/4 . {4F_1F_2}/{(2\sqrt{F_1}-\sqrt{F_2})^2}`
`=1/4 . {4.9.10^-4 .4 .10^-4}/{(2\sqrt{9.10^-4} - \sqrt{4.10^-4})^2}`
`=2,25.10^-4 (N)`

b. Gọi `H` là trung điểm `AB`
`=> AH = {AB}/2 = 3cm =0,03m = a`
Vì `MH` là đường trung trực `AB` nên `MH\botAB`
Ta có: `AM^2 = AH^2 + HM^2= a^2 + x^2`
Độ lớn cường độ điện trường do hai điện tích `q_1,q_2` tác dụng tại `M`:
`E_{1M} = E_{2M} = {k|q_1|}/{AM^2} = {k|q_1|}/{a^2 + x^2}`
Cường độ điện trường tổng hợp tác dụng tại điểm `M`:
`\vec{E_M} = \vec{E_{1M}} + \vec{E_{2M}}`
Mà `E_{1M} = E_{2M}`
`=> E_M = 2E_{1M} cos``{(\vec{E_{1M}},\vec{E_{2M}})}/{2}`
`= 2E_{1M} cos``{\hat{AMB})/{2}`
`= 2E_{1M}cos\hat{AMH}`
`= 2. {k|q_1|}/{a^2 + x^2} . x/{\sqrt{a^2 + x^2 }}`
`= {2k|q_1|x}/{\sqrt{(a^2 + x^2)^3}}`
`<=> \sqrt{(a^2 + x^2)^3} = {2k|q_1|x}/E_M`
Ta có: `AM^2 = a^2 + x^2 = {a^2}/2 + {a^2}/2 + x^2>=3\root{3}{{a^2}/2 . {a^2}/2 . x^2}`
(Bất đẳng thức Cauchy)
`<=> a^2 + x^2 >= 3\root{3}{{a^4x^2}/4}`
`<=> (a^2+x^2)^3 >= {27a^4x^2}/4`
`<=> \sqrt{(a^2+x^2)^3} >=  {3\sqrt3 a^2x}/2`
`<=> {2k|q_1|x}/{E_M} >= {3\sqrt3 a^2x}/2`
`<=> E_M <= {4k|q_1|x}/{3\sqrt3a^2x}={4k|q_1|}/{3\sqrt3a^2}`
Dấu "=" xảy ra khi `x^2 = a^2/2 <=> x = {a\sqrt2}/2 = 1,5\sqrt2 (cm)`
Giá trị cực đại của `E_M` là:
`E_{Mmax}= {4k|q_1|}/{3\sqrt3a^2} = {4.9.10^9 .|10^-8|}/{3\sqrt3 .0,03^2}\approx 76980,036 (\text{V/m})`