Gọi phương trình elip có dạng : `x^2/a^2+y^2/b^2=1  (a>b>0)`

Vì elip `(E)` có tiêu điểm `F_2 (-2;0)`

`⇒c=2`

`⇒a^2-b^2=c^2=4`  `(1)`

Diện tích hình chữ nhật cơ sở `MNPQ` là : 

`S_(MNPQ)=4ab=12\sqrt{5}`

`⇒ab=3\sqrt{5}`  `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta có hệ phương trình : 

`{(a^2-b^2=4),(ab=3\sqrt{5}):}`

`⇒` \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} a=-3\\b=-\sqrt{5} \end{cases}\\\begin{cases} a=3\\b=\sqrt{5} \end{cases}\end{array} \right.\) 

`⇒{(a=3),(b=\sqrt{5}):}`  `(` vì `a>b>0``)`

Chu vi của hình chữ nhật `MNPQ` là : 

`C_(MNPQ)=(2a+2b).2=(6+2\sqrt{5}).2=12+4sqrt5`

Vậy chu vi của hình chữ nhật `MNPQ` là : `C_(MNPQ)=12+4sqrt5`

`(E):x^2/a^2+y^2/b^2=1` `(a>b>0` ; `a^2-b^2=c^2)`

`+)` `(E)` có tiêu điểm `F_1(-2;0)

`=>c=2=>a^2-b^2=2^2=4`

`=>b^2=a^2-4` (1)

`+)` Hình chữ nhật cơ sở `MNPQ` có diện tích bằng `12sqrt5` `cm^2`

`=>2a*2b=12sqrt5`

`=>ab=3sqrt5` 

`=>a^2b^2=45` (2)

Thay (1) vào (2) có :

`a^2(a^2-4)=45`

`<=>a^4-4a^2-45=0`

`<=>a=3` (nhận) hoặc `a=-3` (loại)

`=>b=sqrt(3^2-4)=sqrt5`

Vậy chu vi của `MNPQ` là : `(2a+2b)*2=(2*3+2sqrt5)*2=12+4sqrt5` (cm)

`#td`